A função de onda para uma onda em uma corda esticada é
$$
y=(0.15 \mathrm{~m}) \sin (0.80 x-50 t)$$
onde y=(0.15 m) sin (0.80 x-50 t) está em metros e x em segundos. (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda se a densidade de massa linear for t ? (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?

Passo 1

No exercício, temos uma função de onda para uma onda em uma corda esticada dada por
y = (0.15 m) sin (0.80 x - 50 t)
onde está em metros e em segundos. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda, sabendo que a densidade de massa linear é .
b) Determinar a energia contida em cada ciclo da onda.
Vamos utilizar conceitos de ondas mecânicas, como velocidade da onda, potência média transmitida e energia por ciclo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a densidade de massa linear para unidades padrão. A densidade de massa linear mu = 75,0 g/m = 0,075 kg/m é dada em gramas por metro, então:

Passo 3

Em seguida, precisamos determinar a velocidade da onda v = omegak . A velocidade de uma onda é dada pela relação entre a frequência angular v = 500.80 = 62,5 m/s e o número de onda :
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa média de transmissão de energia, ou potência média P = 12 mu omega^2 A^2 v , na corda. A fórmula para a potência média em uma onda transversal é:
Onde:
  • é a densidade de massa linear
  • é a frequência angular
  • é a amplitude da onda ( )
  • é a velocidade da onda

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
P = 12 times 0.075 times (50)^2 times (0.15)^2 times 62.5
Calculando passo a passo:
  1. Calcular omega^2 = 50^2 = 2500 (rad/s)^2 :
    A^2 = 0.15^2 = 0.0225 m^2
  2. Calcular P = 0.5 times 0.075 times 2500 times 0.0225 times 62.5 :
    P = 0.0375 times 2500 = 93.75
  3. Multiplicar todos os termos:
    93.75 times 0.0225 = 2.109375
    2.109375 times 62.5 = 131.8359 W

Passo 6

Portanto, a taxa média de transmissão de energia na corda é aproximadamente 131.8 watts.

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia contida em cada ciclo da onda. A energia por ciclo T = 2piomega pode ser encontrada multiplicando a potência média T = 2pi50 approx 0.1257 s pelo período da onda.
Primeiro, encontramos o período :
Substituindo :

Passo 8

Agora, calculamos a energia por ciclo:
E = P times T = 131.8 times 0.1257 approx 16.58 J

Resposta

a) A taxa média de transmissão de energia na corda é aproximadamente 131.8 watts.
b) A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente 16.6 joules.

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