A função de onda para uma onda em uma corda esticada é
$$
y=(0.15 \mathrm{~m}) \sin (0.80 x-50 t)$$
onde
está em metros e
em segundos. (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda se a densidade de massa linear for
? (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
onde
Passo 1
No exercício, temos uma função de onda para uma onda em uma corda esticada dada por
onde
está em metros e
em segundos. Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular a taxa média na qual a energia é transmitida ao longo da corda, sabendo que a densidade de massa linear é
.
b) Determinar a energia contida em cada ciclo da onda.
Vamos utilizar conceitos de ondas mecânicas, como velocidade da onda, potência média transmitida e energia por ciclo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a densidade de massa linear para unidades padrão. A densidade de massa linear
é dada em gramas por metro, então:
Passo 3
Em seguida, precisamos determinar a velocidade da onda
. A velocidade de uma onda é dada pela relação entre a frequência angular
e o número de onda
:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa média de transmissão de energia, ou potência média
, na corda. A fórmula para a potência média em uma onda transversal é:
Onde:
-
é a densidade de massa linear -
é a frequência angular -
é a amplitude da onda ( ) -
é a velocidade da onda
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando passo a passo:
-
Calcular
: -
Calcular
: -
Multiplicar todos os termos:
Passo 6
Portanto, a taxa média de transmissão de energia na corda é aproximadamente 131.8 watts.
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia contida em cada ciclo da onda. A energia por ciclo
pode ser encontrada multiplicando a potência média
pelo período
da onda.
Primeiro, encontramos o período
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, calculamos a energia por ciclo:
Resposta
a) A taxa média de transmissão de energia na corda é aproximadamente 131.8 watts.
b) A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente 16.6 joules.