Duas ondas harmônicas se propagam simultaneamente em um fio comprido. As ondas podem ser descritas pelas funções y1=0,002 cos (8,0 x-400 t) e y2=0,002 cos (7,6 x-380 t), onde y e x estão em metros e t em segundos.
Qual é a velocidade de grupo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre duas ondas harmônicas que estão se propagando em um fio longo. O conteúdo que a gente vai mexer aqui envolve ondas, especificamente a velocidade de grupo. Para resolver isso, vamos precisar identificar as características das ondas dadas e aplicar a fórmula da velocidade de grupo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações das ondas que a gente tem:
y1 = 0,002 cos (8,0, x - 400, t)
y2 = 0,002 cos (7,6, x - 380, t)
Nessas equações, x está em metros e t em segundos. Aqui, conseguimos identificar dois parâmetros importantes para cada onda:
  • Número de onda ( k): É o coeficiente que está multiplicando o x dentro do cosseno.
  • Frequência angular ( omega): É o coeficiente que está multiplicando o t.
Então, para cada onda:
  • Onda 1: k1 = 8,0, m^-1 e omega1 = 400, rad/s
  • Onda 2: k2 = 7,6, m^-1 e omega2 = 380, rad/s

Passo 3

Agora, vamos falar sobre velocidade de grupo. A velocidade de grupo ( vg) é a velocidade com que um pacote de ondas (ou envelope) se propaga. Ela é especialmente importante quando temos duas ondas próximas em frequência e número de onda, como no nosso caso.
A fórmula para calcular a velocidade de grupo quando temos duas ondas é:
vg = omega2 - omega1k2 - k1
Essa fórmula basicamente nos diz que a velocidade de grupo é a mudança na frequência angular dividida pela mudança no número de onda entre as duas ondas.

Passo 4

Vamos aplicar os valores que identificamos nas ondas na fórmula da velocidade de grupo:
vg = omega2 - omega1k2 - k1 = 380, rad/s - 400, rad/s7,6, m^-1 - 8,0, m^-1
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: 380 - 400 = -20, rad/s
  • Denominador: 7,6 - 8,0 = -0,4, m^-1
Agora, dividimos os dois resultados:
vg = -20, rad/s-0,4, m^-1 = 50, m/s

Resposta

A velocidade de grupo é de 50 metros por segundo.

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