Encontre a relação de Einstein para o coeficiente de difusão no movimento browniano.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente encontrar a relação de Einstein para o coeficiente de difusão no movimento browniano, que é dado por $ D = \frac{k T}{\mu} $.
Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica estatística e dinâmica de partículas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia térmica está relacionada com o movimento aleatório das partículas em um fluido, e como isso se conecta ao coeficiente de difusão $ D $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o movimento browniano. É o movimento aleatório de partículas pequenas suspensas em um fluido, resultado das colisões com as moléculas do fluido. Esse fenômeno foi observado por Robert Brown e é fundamental para entender como as partículas se difundem.
Passo 3
O coeficiente de difusão $ D $ mede a taxa na qual as partículas se espalham. Segundo Einstein, essa difusão está relacionada à temperatura $ T $, à constante de Boltzmann $ k $ e à viscosidade do fluido, representada pela mobilidade $ \mu $.
Passo 4
A relação de Einstein conecta essas grandezas pela equação:
Essa fórmula mostra que o coeficiente de difusão aumenta com a temperatura e diminui com a viscosidade do meio.
Passo 5
Para derivar essa relação, Einstein considerou que a energia térmica $ k T $ está envolvida nas colisões que causam o movimento das partículas. A mobilidade $ \mu $ relaciona a força aplicada sobre a partícula com sua velocidade resultante. Com isso, ao equilibrar essas influências, chega-se à equação acima.
Resposta
Portanto, a relação de Einstein para o coeficiente de difusão no movimento browniano é: