Uma partícula de massa m=2 kg está na posição R=(3 x-y+2 z) m em relação à origem, com uma velocidade v=(x+2 y-z) m / s. Determine o momento angular L=m R times v da partícula. Qual o módulo do momento angular e os ângulos em relação aos eixos cartesianos x, y e z ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa m = 2 , kg posicionada no ponto R = (3,x - y + 2,z) , m e movendo-se com velocidade v = (x + 2,y - z) , m/s. O que a gente precisa calcular é o momento angular dessa partícula, que é dado pela fórmula L = m , R times v. Além disso, queremos saber o módulo de L e os ângulos que ele forma com os eixos x, y e z. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o produto vetorial e como calcular módulos e ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial R times v. Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz) é dado por:
A times B = ( Ay Bz - Az By ) x - ( Ax Bz - Az Bx ) y + ( Ax By - Ay Bx ) z
Vamos aplicar isso aos nossos vetores R e v:
R times v = ( (-1)(-1) - (2)(2) ) x - ( 3(-1) - 2(1) ) y + ( 3(2) - (-1)(1) ) z
Agora, vamos calcular cada componente:
  • Componente x:
(-1)(-1) - (2)(2) = 1 - 4 = -3
  • Componente y:
3(-1) - 2(1) = -3 - 2 = -5 (como há um sinal negativo antes, fica +5 y) á
  • Componente z:
3(2) - (-1)(1) = 6 + 1 = 7
Portanto,
R times v = -3,x + 5,y + 7,z

Passo 3

Agora que temos R times v, vamos multiplicar pelo massa m = 2 , kg para encontrar o momento angular L:
L = m , (R times v) = 2 times (-3,x + 5,y + 7,z)
Multiplicando cada componente:
L = (-6),x + 10,y + 14,z , kg·m²/s ²

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo do momento angular L. O módulo de um vetor L = (Lx, Ly, Lz) é dado por:
|L| = raizLx^2 + Ly^2 + Lz^2
Substituindo os valores que encontramos:
|L| = raiz(-6)^2 + 10^2 + 14^2 = raiz36 + 100 + 196 = raiz332 approx 18,22 , kg·m²/s ²

Passo 5

Por fim, vamos determinar os ângulos que o momento angular L forma com cada um dos eixos cartesianos x, y e z. Para isso, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
costheta = L cdot e|L| , |e|
Onde e é um dos eixos. Como x, y e z são vetores unitários, |e| = 1. Vamos calcular cada ângulo:
  • Ângulo com x:
L cdot x = -6 times 1 + 10 times 0 + 14 times 0 = -6
costhetax = -618,22 approx -0,33
thetax = arccos(-0,33) approx 70^circ
  • Ângulo com y:
L cdot y = -6 times 0 + 10 times 1 + 14 times 0 = 10
costhetay = 1018,22 approx 0,55
thetay = arccos(0,55) approx 56^circ
  • Ângulo com z:
L cdot z = -6 times 0 + 10 times 0 + 14 times 1 = 14
costhetaz = 1418,22 approx 0,77
thetaz = arccos(0,77) approx 39^circ

Resposta

O momento angular da partícula é L = -6,x + 10,y + 14,z , kg·m²/s². O módulo de L é aproximadamente 18,22 , kg·m²/s² e os ângulos que ele forma com os eixos são aproximadamente 70^circ com x, 56^circ com y e 39^circ com z.

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