Duas ondas transversais de mesma frequência são produzidas em um fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade , submetido a uma tensão . As ondas são dadas por:
onde
Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição destas duas ondas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a superposição de duas ondas transversais com a mesma frequência. A gente vai precisar usar conceitos de ondas mecânicas e superposição. Basicamente, vamos somar as duas ondas dadas para encontrar a onda resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as ondas que temos. As ondas são:
Onde:
  • mm é a amplitude das ondas,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular.

Passo 3

Para somar essas duas ondas, é mais fácil se elas estiverem na mesma forma trigonométrica. Vamos transformar a segunda onda de seno para cosseno usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na :
Então, agora temos ambas as ondas em termos de cosseno.

Passo 4

Agora, vamos escrever as duas ondas juntas:
(Note que alteramos os sinais para que fiquem na forma )

Passo 5

Agora, somamos as duas ondas para encontrar a onda resultante :

Passo 6

Para somar essas cossenos com diferentes fases, usamos a fórmula de soma de cossenos:
Aqui, , , e .

Passo 7

Calculando a amplitude da onda resultante:
ú

Passo 8

Calculando a fase da onda resultante:
Isso resulta em:

Passo 9

Agora, juntando tudo, a onda resultante é:

Resposta

A onda harmônica progressiva resultante da superposição é:

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