Duas ondas transversais de mesma frequência f=100 Hz são produzidas em um fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g / cm^2, submetido a uma tensão T=500 N. As ondas são dadas por:
y1(x, t)=A cos (k x-omega t+pi6) e y2(x, t)=2 A sen(omega t-k x)
onde A=2 mm
Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição destas duas ondas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a superposição de duas ondas transversais com a mesma frequência. A gente vai precisar usar conceitos de ondas mecânicas e superposição. Basicamente, vamos somar as duas ondas dadas para encontrar a onda resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as ondas que temos. As ondas são:
y1(x, t) = A cos(kx - omega t + pi6)
y2(x, t) = 2A sin(omega t - kx)
Onde:
  • mm é a amplitude das ondas,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular.

Passo 3

Para somar essas duas ondas, é mais fácil se elas estiverem na mesma forma trigonométrica. Vamos transformar a segunda onda de seno para cosseno usando a identidade trigonométrica:
sin(theta) = cos(theta - pi2)
Aplicando isso na y2(x, t) = 2A sin(omega t - kx) = 2A cos((omega t - kx) - pi2) :
Então, agora temos ambas as ondas em termos de cosseno.

Passo 4

Agora, vamos escrever as duas ondas juntas:
y1(x, t) = A cos(kx - omega t + pi6)
y2(x, t) = 2A cos(-kx + omega t - pi2) = 2A cos(kx - omega t + pi2)
(Note que alteramos os sinais para que fiquem na forma )

Passo 5

Agora, somamos as duas ondas para encontrar a onda resultante y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = A cos(kx - omega t + pi6) + 2A cos(kx - omega t + pi2) :

Passo 6

Para somar essas cossenos com diferentes fases, usamos a fórmula de soma de cossenos:
a cos(theta) + b cos(theta + phi) = raiza^2 + b^2 + 2abcos(phi) cos(theta + tan^-1(b sin(phi)a + b cos(phi)))
Aqui, , , e .

Passo 7

Calculando a amplitude da onda resultante:
Amplitúdde = raizA^2 + (2A)^2 + 2 cdot A cdot 2A cdot cos(pi3) = raizA^2 + 4A^2 + 4A^2 cdot 12 = raizA^2 + 4A^2 + 2A^2 = raiz7A^2 = Araiz7 ú

Passo 8

Calculando a fase da onda resultante:
De
Isso resulta em:
De

Passo 9

Agora, juntando tudo, a onda resultante é:
y(x, t) = Araiz7 cos(kx - omega t + pi6)

Resposta

A onda harmônica progressiva resultante da superposição é:
y(x, t) = Araiz7 cos(kx - omega t + pi6)

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