Duas ondas que viajam em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são:
& y1=(4,0 cm) sen(13,0 x-2,0 t) & y2=(4,0 cm) sen(13,0 x+2,0 t)
onde x e y são medidos em centímetros.
(a) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em x = 2,3 cm. (b) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda está em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas ondas que estão viajando em direções opostas e formando uma onda estacionária. As funções dessas ondas são dadas por:
& y1=(4,0 cm) sin(13,0 x - 2,0 t) & y2=(4,0 cm) sin(13,0 x + 2,0 t)
Conteúdo da Matéria: Ondas estacionárias, superposição de ondas, amplitude, nós e antinodos.
O que Vamos Precisar:
  • Princípio da superposição de ondas
  • Fórmulas para amplitude em ondas estacionárias
  • Conceitos de nós e antinodos

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as duas ondas estão viajando em direções opostas e formando uma onda estacionária. Quando duas ondas de mesma amplitude e frequência viajam em direções opostas, elas superpõem-se e criam padrões fixos de amplitude máxima e mínima, chamados de antinodos e nós, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar a amplitude da onda estacionária, usamos a fórmula resultante da superposição das duas ondas:
y = y1 + y2 = 2A cos(omega x) sin(omega t)
onde:
  • é a amplitude das ondas individuais,
  • é a constante angular.
No nosso caso, as ondas têm a mesma amplitude .

Passo 4

A amplitude da onda estacionária no ponto Aest(x) = 2A cos(kx) é dada por:
onde é o número de onda. Mas olhando as funções dadas, podemos identificar que .

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula para encontrar a amplitude no ponto Aest(2,3) = 2 times 4,0 , cm times cos(13,0 times 2,3) :

Passo 6

Calculando o argumento do cosseno:
13,0 times 2,3 = 29,9 , rad
Agora, calculamos o cosseno de 29,9 radianos. Mas como os ângulos em radianos são periódicos a cada 29,9 div 2pi approx 4,76 (ciclos comp<=tos) rad, podemos simplificar:
29,9 - 4 times 2pi approx 29,9 - 25,1327 approx 4,7673 , rad
Então, o ângulo equivalente dentro de um ciclo é:
cos(4,7673) approx cos(4,77) approx 0,078
Calculando :

Passo 7

Agora, calculamos a amplitude:
Aest(2,3) = 2 times 4,0 , cm times 0,078 approx 0,624 , cm

Passo 8

Portanto, a amplitude do movimento harmônico simples no ponto é aproximadamente 0,624 cm.

Resposta

(a) A amplitude do movimento harmônico simples no ponto é aproximadamente 0,624 cm.

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