Duas ondas que viajam em direções opostas produzem uma onda estacionária. As funções de onda individuais são:
onde x e y são medidos em centímetros.
(a) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em x = 2,3 cm. (b) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda está em
.
(a) Encontre a amplitude do movimento harmônico simples do elemento do meio localizado em x = 2,3 cm. (b) Encontre as posições dos nós e antinodos se uma extremidade da corda está em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas ondas que estão viajando em direções opostas e formando uma onda estacionária. As funções dessas ondas são dadas por:
Conteúdo da Matéria: Ondas estacionárias, superposição de ondas, amplitude, nós e antinodos.
O que Vamos Precisar:
- Princípio da superposição de ondas
- Fórmulas para amplitude em ondas estacionárias
- Conceitos de nós e antinodos
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as duas ondas estão viajando em direções opostas e formando uma onda estacionária. Quando duas ondas de mesma amplitude e frequência viajam em direções opostas, elas superpõem-se e criam padrões fixos de amplitude máxima e mínima, chamados de antinodos e nós, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar a amplitude da onda estacionária, usamos a fórmula resultante da superposição das duas ondas:
onde:
-
é a amplitude das ondas individuais, -
é a constante angular.
No nosso caso, as ondas têm a mesma amplitude
.
Passo 4
A amplitude da onda estacionária no ponto
é dada por:
onde
é o número de onda. Mas olhando as funções dadas, podemos identificar que
.
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula para encontrar a amplitude no ponto
:
Passo 6
Calculando o argumento do cosseno:
Agora, calculamos o cosseno de 29,9 radianos. Mas como os ângulos em radianos são periódicos a cada
rad, podemos simplificar:
Então, o ângulo equivalente dentro de um ciclo é:
Calculando
:
Passo 7
Agora, calculamos a amplitude:
Passo 8
Portanto, a amplitude do movimento harmônico simples no ponto
é aproximadamente 0,624 cm.
Resposta
(a) A amplitude do movimento harmônico simples no ponto
é aproximadamente 0,624 cm.