Qual é o módulo do campo elétrico no ponto (3,00 imath+2,00 jmath+4,00 k) m se o potencial elétrico é dado por V=2,00 x y z^2, em que V está em volts e x, y e z estão em metros?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o módulo do campo elétrico no ponto com coordenadas (3,00, imath + 2,00, jmath + 4,00, k) metros. Sabemos que o potencial elétrico V é dado por V = 2,00 , x , y , z^2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico E está relacionado ao potencial elétrico V pela relação E = -nabla V. Então, vamos precisar calcular o gradiente de V e depois encontrar o módulo desse campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de V. O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla V = ( partial Vpartial x ) imath + ( partial Vpartial y ) jmath + ( partial Vpartial z ) k
Vamos derivar V = 2,00 , x , y , z^2 em relação a cada uma das variáveis.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial x = 2,00 , y , z^2
partial Vpartial y = 2,00 , x , z^2
partial Vpartial z = 4,00 , x , y , z
Então, o gradiente de V fica:
nabla V = 2,00 , y , z^2 , imath + 2,00 , x , z^2 , jmath + 4,00 , x , y , z , k

Passo 4

Agora, usando a relação E = -nabla V, temos:
E = -2,00 , y , z^2 , imath - 2,00 , x , z^2 , jmath - 4,00 , x , y , z , k

Passo 5

Vamos substituir os valores das coordenadas x = 3,00, m, y = 2,00, m e z = 4,00, m na expressão do campo elétrico:
Ex = -2,00 times 2,00 times (4,00)^2 = -2,00 times 2,00 times 16,00 = -64,00, V/m
Ey = -2,00 times 3,00 times (4,00)^2 = -2,00 times 3,00 times 16,00 = -96,00, V/m
Ez = -4,00 times 3,00 times 2,00 times 4,00 = -4,00 times 3,00 times 2,00 times 4,00 = -96,00, V/m

Passo 6

Agora, para encontrar o módulo do campo elétrico E, usamos a fórmula:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2
Substituindo os valores:
|E| = raiz(-64,00)^2 + (-96,00)^2 + (-96,00)^2 = raiz4096 + 9216 + 9216 = raiz22528 approx 150,09, V/m

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto dado �� aproximadamente 150, V/m.

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