Em temperaturas baixas, os calores específicos dos sólidos são tipicamente proporcionais a T^3. A primeira compreensão desse comportamento foi devido ao físico holandês Peter Debye, que, em 1912, tratou as oscilações atômicas com a teoria quântica que Max Planck havia usado recentemente para a radiação. Por exemplo, uma boa aproximação para o calor específico do sal, NaCl , é
c=3,33 times 10^4 JKg cdot K(T321 K)^3
A constante 321 K é chamada de temperatura de Debye do NaCl, D, e a fórmula funciona bem quando T<0,04 D. Usando esta fórmula, quanto calor é necessário para elevar a temperatura de 24,0 g de NaCl de 5 K para 15 K ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o calor específico dos sólidos muda com a temperatura, especificamente que ele é proporcional a em baixas temperaturas. A gente vai usar essa relação para calcular quanto calor é necessário para aquecer 24 gramas de NaCl de 5 K para 15 K.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que temos:
c = 3,33 times 10^4 Jkg cdot K ( T321,K )^3
Aqui, é o calor específico, é a temperatura, e 321 K é a temperatura de Debye para o NaCl.

Passo 3

Como o calor específico depende da temperatura, para encontrar o calor total Q = m integralT1^T2 c(T) , dT necessário para aquecer o NaCl de 5 K a 15 K, vamos precisar integrar essa função de em relação a de 5 K a 15 K. A fórmula geral para o calor é:
onde é a massa.

Passo 4

Vamos substituir Q = m times 3,33 times 10^4 Jkg cdot K ( 1321,K )^3 integral5^15 T^3 , dT na integral:
3,33 times 10^4 times ( 1321 )^3 approx 0,001006 Jkg cdot K^3
Primeiro, calculamos a constante fora da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral5^15 T^3 , dT = [ T^44 ]5^15 = 15^4 - 5^44 = 50625 - 6254 = 12500 , K^4 de 5 K a 15 K:

Passo 6

Multiplicamos tudo junto:
Q = 0,001006 Jkg cdot K^3 times 0,024,kg times 12500,K^4
Q approx 0,30174,J

Resposta

O calor necessário para elevar a temperatura de 24,0 g de NaCl de 5 K para 15 K é aproximadamente 0,30 J.

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