As duas partes da peça A B são coladas em um plano que forma um ângulo theta com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são sigmaU=17 MPa e tauU=9 MPa. Determine quais são os valores de theta para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma peça chamada AB onde as duas partes estão coladas em um plano que forma um ângulo theta com a horizontal. As tensões máximas que essa união aguentam são sigmaU=17 MPa (tensão normal) e tauU=9 MPa (tensão de cisalhamento). A tarefa aqui é descobrir para quais ângulos theta o coeficiente de segurança é pelo menos 3,0.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é coeficiente de segurança, como as tensões atuam na união colada e usar um pouco de trigonometria para relacionar o ângulo theta com as tensões aplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o coeficiente de segurança. Ele é basicamente uma margem que usamos para garantir que uma estrutura não falhe mesmo sob condições adversas. A fórmula é:
Coeficiente de Segurança = Tensão ÚçãÚã
Queremos que esse coeficiente seja pelo menos 3,0. Então, precisamos que:
sigmaUsigmaaplicada >= 3 e tauUtauaplicada >= 3
Isso significa que as tensões aplicadas não podem ser maiores que um terço das tensões últimas.

Passo 3

Agora, vamos entender como as tensões aplicadas sigma e tau se relacionam com o ângulo theta. Como a união está inclinada, as tensões normais e de cisalhamento na união vão depender desse ângulo.
Usamos as seguintes relações trigonométricas para uma inclinação theta:
sigmaaplicada = sigma cos^2 theta
tauaplicada = sigma cos theta sin theta
Aqui, sigma é a tensão normal aplicada horizontalmente.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a condição do coeficiente de segurança para a tensão normal:
sigmaUsigma cos^2 theta >= 3
Resolvendo para sigma:
sigma cos^2 theta <= sigmaU3
Como queremos encontrar theta, rearranjamos:
cos^2 theta <= sigmaU3sigma

Passo 5

Fazendo o mesmo para a tensão de cisalhamento:
tauUsigma cos theta sin theta >= 3
Resolvendo para sigma:
sigma cos theta sin theta <= tauU3
Novamente, queremos theta, então rearranjamos:
cos theta sin theta <= tauU3sigma

Passo 6

Agora, juntando as duas condições:
  1. cos^2 theta <= sigmaU3sigma
  2. cos theta sin theta <= tauU3sigma
Para que ambas as desigualdades sejam verdadeiras simultaneamente, precisamos encontrar os valores de theta que satisfazem ambas.

Passo 7

Assumindo que as tensões aplicadas sigma e tau são conhecidas ou relacionadas, mas como não temos valores específicos para sigma, vamos analisar as relações trigonométricas.
Podemos perceber que:
  • Para cos^2 theta <= constante, theta deve estar em um intervalo onde o cosseno não é muito grande.
  • Para cos theta sin theta <= constante, similarmente, theta deve estar em um intervalo específico.
Para resolver isso precisamente, precisaríamos de mais informações sobre as tensões aplicadas ou relacioná-las de outra forma. No entanto, podemos entender que existe um intervalo de theta que satisfaz ambas as condições.

Resposta

Os valores do ângulo theta que garantem um coeficiente de segurança de pelo menos 3,0 estão nos intervalos onde as desigualdades cos^2 theta <= sigmaU3sigma e cos theta sin theta <= tauU3sigma são satisfeitas simultaneamente. Sem valores específicos para as tensões aplicadas, o intervalo exato de theta não pode ser determinado, mas há um intervalo limitado de ângulos que atende às condições de segurança estabelecidas.

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