As duas partes da peça
são coladas em um plano que forma um ângulo
com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são
e
. Determine quais são os valores de
para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes da peça
coladas em um plano que forma um ângulo
com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são dadas por
(tensão normal) e
(tensão de cisalhamento). O objetivo é encontrar os valores de
para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.
Matéria envolvida: Tensões em materiais, coeficiente de segurança, análise de tensões em planos inclinados.
O que vamos precisar: Fórmulas para o coeficiente de segurança, expressões para as tensões em planos inclinados, conhecimento de trigonometria básica.
Passo 2
Vamos começar definindo o coeficiente de segurança (CS), que é uma medida de quanto a capacidade de uma estrutura excede a carga a que está sujeita. É dado por:
Queremos que o CS seja pelo menos 3,0, ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos determinar as tensões aplicadas na união colada quando o plano está inclinado em um ângulo
. Vamos considerar as tensões normais (
) e de cisalhamento (
) no plano inclinado.
Para um plano inclinado, as tensões normais e de cisalhamento podem ser expressas em termos das tensões na horizontal e vertical. Entretanto, como não temos essas tensões iniciais, vamos assumir que as tensões aplicadas são devido ao estado de carregamento no plano inclinado.
Passo 4
Assumindo que as tensões aplicadas
e
variam com o ângulo
, podemos relacionar as tensões últimas com o coeficiente de segurança da seguinte forma:
Para a tensão normal:
Para a tensão de cisalhamento:
Queremos que ambas as condições sejam satisfeitas com
.
Passo 5
Vamos igualar o coeficiente de segurança a 3,0 para encontrar as condições mínimas:
Para a tensão normal:
Para a tensão de cisalhamento:
Passo 6
Calculando os valores máximos permitidos para
e
:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar essas tensões com o ângulo
. Geralmente, em um plano inclinado, as tensões podem ser decompostas usando funções trigonométricas. Supondo que a tensão normal
e a tensão de cisalhamento
dependem de
da seguinte forma:
Onde
é a tensão aplicada na horizontal.
Passo 8
Como não temos o valor de
, vamos considerar que as tensões aplicadas
e
no plano inclinado são funções puramente do ângulo
. Para simplificar, podemos relacionar
e
diretamente com
.
Usaremos as relações geométricas:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições dos coeficientes de segurança:
Para
:
Para
:
Passo 10
Resolviendo para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores de
para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0 são:
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, foram coletadas de diferentes profundidades da mesma camada de solo. Para a amostra
, localizada acima do lençol freático, a massa
, com
. A amostra
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, determine: Índice de vazios de
.
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e
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