As duas partes da peça são coladas em um plano que forma um ângulo com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são e . Determine quais são os valores de para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes da peça coladas em um plano que forma um ângulo com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são dadas por (tensão normal) e (tensão de cisalhamento). O objetivo é encontrar os valores de para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.
Matéria envolvida: Tensões em materiais, coeficiente de segurança, análise de tensões em planos inclinados.
O que vamos precisar: Fórmulas para o coeficiente de segurança, expressões para as tensões em planos inclinados, conhecimento de trigonometria básica.

Passo 2

Vamos começar definindo o coeficiente de segurança (CS), que é uma medida de quanto a capacidade de uma estrutura excede a carga a que está sujeita. É dado por:
ãÚã
Queremos que o CS seja pelo menos 3,0, ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos determinar as tensões aplicadas na união colada quando o plano está inclinado em um ângulo . Vamos considerar as tensões normais ( ) e de cisalhamento ( ) no plano inclinado.
Para um plano inclinado, as tensões normais e de cisalhamento podem ser expressas em termos das tensões na horizontal e vertical. Entretanto, como não temos essas tensões iniciais, vamos assumir que as tensões aplicadas são devido ao estado de carregamento no plano inclinado.

Passo 4

Assumindo que as tensões aplicadas e variam com o ângulo , podemos relacionar as tensões últimas com o coeficiente de segurança da seguinte forma:
Para a tensão normal:
Para a tensão de cisalhamento:
Queremos que ambas as condições sejam satisfeitas com .

Passo 5

Vamos igualar o coeficiente de segurança a 3,0 para encontrar as condições mínimas:
Para a tensão normal:
Para a tensão de cisalhamento:

Passo 6

Calculando os valores máximos permitidos para e :

Passo 7

Agora, precisamos relacionar essas tensões com o ângulo . Geralmente, em um plano inclinado, as tensões podem ser decompostas usando funções trigonométricas. Supondo que a tensão normal e a tensão de cisalhamento dependem de da seguinte forma:
Onde é a tensão aplicada na horizontal.

Passo 8

Como não temos o valor de , vamos considerar que as tensões aplicadas e no plano inclinado são funções puramente do ângulo . Para simplificar, podemos relacionar e diretamente com .
Usaremos as relações geométricas:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições dos coeficientes de segurança:
Para :
Para :

Passo 10

Resolviendo para :
Para :
Para :

Resposta

Os valores de para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0 são:

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