As duas partes da peça A B são coladas em um plano que forma um ângulo theta com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são sigmaU=17 MPa e tauU=9 MPa. Determine quais são os valores de theta para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partes da peça AB coladas em um plano que forma um ângulo theta com a horizontal. As tensões últimas para a união colada são dadas por sigmaU = 17,MPa (tensão normal) e tauU = 9,MPa (tensão de cisalhamento). O objetivo é encontrar os valores de theta para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0.
Matéria envolvida: Tensões em materiais, coeficiente de segurança, análise de tensões em planos inclinados.
O que vamos precisar: Fórmulas para o coeficiente de segurança, expressões para as tensões em planos inclinados, conhecimento de trigonometria básica.

Passo 2

Vamos começar definindo o coeficiente de segurança (CS), que é uma medida de quanto a capacidade de uma estrutura excede a carga a que está sujeita. É dado por:
CS = Tensão ÚãÚã
Queremos que o CS seja pelo menos 3,0, ou seja:
CS >= 3,0

Passo 3

Agora, precisamos determinar as tensões aplicadas na união colada quando o plano está inclinado em um ângulo theta. Vamos considerar as tensões normais ( sigma) e de cisalhamento ( tau) no plano inclinado.
Para um plano inclinado, as tensões normais e de cisalhamento podem ser expressas em termos das tensões na horizontal e vertical. Entretanto, como não temos essas tensões iniciais, vamos assumir que as tensões aplicadas são devido ao estado de carregamento no plano inclinado.

Passo 4

Assumindo que as tensões aplicadas sigma e tau variam com o ângulo theta, podemos relacionar as tensões últimas com o coeficiente de segurança da seguinte forma:
Para a tensão normal:
CSsigma = sigmaUsigma
Para a tensão de cisalhamento:
CStau = tauUtau
Queremos que ambas as condições sejam satisfeitas com CS >= 3,0.

Passo 5

Vamos igualar o coeficiente de segurança a 3,0 para encontrar as condições mínimas:
Para a tensão normal:
sigmaUsigma >= 3,0 implies sigma <= sigmaU3,0
Para a tensão de cisalhamento:
tauUtau >= 3,0 implies tau <= tauU3,0

Passo 6

Calculando os valores máximos permitidos para sigma e tau:
sigma <= 17,MPa3,0 approx 5,67,MPa
tau <= 9,MPa3,0 = 3,0,MPa

Passo 7

Agora, precisamos relacionar essas tensões com o ângulo theta. Geralmente, em um plano inclinado, as tensões podem ser decompostas usando funções trigonométricas. Supondo que a tensão normal sigma e a tensão de cisalhamento tau dependem de theta da seguinte forma:
sigma = sigma0 cos^2theta
tau = sigma0 sintheta costheta
Onde sigma0 é a tensão aplicada na horizontal.

Passo 8

Como não temos o valor de sigma0, vamos considerar que as tensões aplicadas sigma e tau no plano inclinado são funções puramente do ângulo theta. Para simplificar, podemos relacionar sigma e tau diretamente com theta.
Usaremos as relações geométricas:
sigma = sigmaU cos^2theta
tau = tauU sintheta costheta

Passo 9

Agora, aplicamos as condições dos coeficientes de segurança:
Para sigma:
cos^2theta <= 5,6717
cos^2theta <= 0,333
Para tau:
sintheta costheta <= 3,09
sintheta costheta <= 0,333

Passo 10

Resolviendo para theta:
Para cos^2theta <= 0,333:
costheta <= raiz0,333 approx 0,577
theta >= cos^-1(0,577) approx 54^circ
Para sintheta costheta <= 0,333:
sintheta costheta = 12sin(2theta) <= 0,333
sin(2theta) <= 0,666
2theta <= sin^-1(0,666) approx 41,81^circ
theta <= 20,9^circ

Resposta

Os valores de theta para os quais o coeficiente de segurança é pelo menos igual a 3,0 são:
theta >= 54^circ e theta <= 20,9^circ

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