Duas particulas A e B deslocam -se ao longo de uma mesma trajetória. Suas funçöes horairias, definidas a partir do mesmo referencial, sảo dadas por:
SA=4 t^2-3 e SB=5 t^2-4 t
com S em metros e t em segundos. Determine:
c) qual é a velocidade de cada no encontro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos duas partículas, A e B, que estão se movendo na mesma trajetória. As posições delas em função do tempo são dadas por:
SA = 4 t^2 - 3 e SB = 5 t^2 - 4 t
Aqui, está em metros e em segundos. Queremos descobrir qual é a velocidade de cada partícula no momento em que elas se encontram. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento e velocidade, que é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o instante 4 t^2 - 3 = 5 t^2 - 4 t em que as partículas se encontram, ou seja, quando . Igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Subtraindo -3 = t^2 - 4 t de ambos os lados para simplificar:
t^2 - 4 t + 3 = 0
Rearranjando os termos:

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática:
t^2 - 4 t + 3 = 0
Podemos resolver essa equação fatorando ou usando a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
(t - 1)(t - 3) = 0
Isso nos dá duas soluções: segundo e segundos.

Passo 5

Vamos verificar qual desses tempos faz sentido no contexto do problema. Como estamos lidando com movimentos a partir de , ambas as soluções são válidas. Agora, vamos calcular a velocidade de cada partícula nesses instantes.

Passo 6

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar vA = dSAdt = 8 t e vB = dSBdt = 10 t - 4 em relação a :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, substituímos os valores de vA = 8 times 1 = 8 , m/s encontrados ( vB = 10 times 1 - 4 = 6 , m/s e vA = 8 times 3 = 24 , m/s ) nas expressões das velocidades:
Para vB = 10 times 3 - 4 = 26 , m/s segundo:
Para segundos:

Resposta

As velocidades das partículas no encontro são:
  • No instante segundo:
    • Partícula A:
    • Partícula B:
  • No instante segundos:
    • Partícula A:
    • Partícula B:

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