Duas particulas A e B deslocam -se ao longo de uma mesma trajetória. Suas funçöes horairias, definidas a partir do mesmo referencial, sảo dadas por:
SA=4 t^2-3 e SB=5 t^2-4 t
com S em metros e t em segundos. Determine:
b) as posiçōes em que os encontros ocorrem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, A e B, que estão se movendo na mesma direção ao longo de uma trajetória. As posições delas em função do tempo são dadas por:
SA = 4t^2 - 3 e SB = 5t^2 - 4t
Onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir em que posições essas duas partículas se encontram, ou seja, quando .

Passo 2

Para encontrar os momentos em que as partículas se encontram, precisamos igualar as funções de posição delas:
4t^2 - 3 = 5t^2 - 4t
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Vamos rearranjar a equação para deixá-la igualada a zero:
4t^2 - 3 - 5t^2 + 4t = 0
Simplificando os termos semelhantes:
-t^2 + 4t - 3 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:
t^2 - 4t + 3 = 0
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração.

Passo 4

Vamos fatorar a equação (t - 3)(t - 1) = 0 :
t = 1 ou t = 3
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 5

Com os valores de SA = 4(1)^2 - 3 = 4 - 3 = 1 , m encontrados, agora vamos substituir de volta na função de posição de qualquer uma das partículas para encontrar as posições onde os encontros ocorrem. Vamos usar SA = 4(3)^2 - 3 = 4 times 9 - 3 = 36 - 3 = 33 , m :
Para :
Para :

Resposta

Os encontros das partículas A e B ocorrem nas posições de 1 metro e 33 metros ao longo da trajetória.

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