Duas partículas idênticas de massa de repouso
e velocidade
em sentidos opostos colidem frontalmente e dão origem a uma partícula de massa
em repouso. Qual o valor de
? Se essa colisão fosse vista por um referencial que vê uma das partículas em repouso, qual seria o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de colisão de partículas no contexto da Relatividade Especial. Basicamente, são duas partículas com a mesma massa de repouso
, movendo-se em direções opostas com velocidade
, onde
é a velocidade da luz. Quando elas colidem frontalmente, formam uma nova partícula de massa
que fica parada. Precisamos descobrir o valor de
. Além disso, queremos saber qual seria esse valor de
se observássemos a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e momento na Relatividade Especial. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados; vou explicar conforme a gente avança.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a colisão no referencial onde ambas as partículas estão se movendo com velocidade
em direções opostas. Esse é o referencial do centro de massa, onde o momento total antes da colisão é zero porque as partículas têm momentos iguais e opostos.
Na Relatividade Especial, a energia total de uma partícula é dada por:
onde
é o fator de Lorentz.
Como temos duas partículas, a energia total antes da colisão é:
Após a colisão, a nova partícula está em repouso, então sua energia é simplesmente sua massa de repouso multiplicada por
:
Pela conservação de energia, a energia total antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Então, a massa
da nova partícula é:
Passo 3
Agora, vamos olhar a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso. Nesse referencial, apenas uma partícula está se movendo com velocidade
, enquanto a outra está parada.
Vamos identificar a energia e o momento das partículas nesse referencial:
- A partícula em repouso tem energia
e momento . - A partícula em movimento tem energia
e momento .
Ao colidirem, elas formam uma nova partícula. Pela conservação do momento, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento após a colisão. A nova partícula deve ter o mesmo momento total:
A massa da nova partícula
no referencial atual terá energia:
e momento:
But since the final particle has velocity
, and a certain mass
, we can relate energia e momento.
No entanto, para simplificar, podemos utilizar a invariância do quadrado do vetor energia-momento, que é dado por:
Aplicando isso ao sistema antes e depois da colisão, e resolvendo, encontraríamos que a massa
permanece a mesma que calculamos anteriormente:
Resposta
A massa da nova partícula é
. Mesmo observando a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso, o valor de
continua sendo
.
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