Duas partículas idênticas de massa de repouso e velocidade em sentidos opostos colidem frontalmente e dão origem a uma partícula de massa em repouso. Qual o valor de ? Se essa colisão fosse vista por um referencial que vê uma das partículas em repouso, qual seria o valor de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de colisão de partículas no contexto da Relatividade Especial. Basicamente, são duas partículas com a mesma massa de repouso , movendo-se em direções opostas com velocidade , onde é a velocidade da luz. Quando elas colidem frontalmente, formam uma nova partícula de massa que fica parada. Precisamos descobrir o valor de . Além disso, queremos saber qual seria esse valor de se observássemos a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e momento na Relatividade Especial. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados; vou explicar conforme a gente avança.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a colisão no referencial onde ambas as partículas estão se movendo com velocidade em direções opostas. Esse é o referencial do centro de massa, onde o momento total antes da colisão é zero porque as partículas têm momentos iguais e opostos.
Na Relatividade Especial, a energia total de uma partícula é dada por:
onde é o fator de Lorentz.
Como temos duas partículas, a energia total antes da colisão é:
Após a colisão, a nova partícula está em repouso, então sua energia é simplesmente sua massa de repouso multiplicada por :
Pela conservação de energia, a energia total antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão:
Podemos simplificar cancelando dos dois lados:
Então, a massa da nova partícula é:

Passo 3

Agora, vamos olhar a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso. Nesse referencial, apenas uma partícula está se movendo com velocidade , enquanto a outra está parada.
Vamos identificar a energia e o momento das partículas nesse referencial:
  • A partícula em repouso tem energia e momento .
  • A partícula em movimento tem energia e momento .
Ao colidirem, elas formam uma nova partícula. Pela conservação do momento, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento após a colisão. A nova partícula deve ter o mesmo momento total:
A massa da nova partícula no referencial atual terá energia:
e momento:
But since the final particle has velocity , and a certain mass , we can relate energia e momento.
No entanto, para simplificar, podemos utilizar a invariância do quadrado do vetor energia-momento, que é dado por:
Aplicando isso ao sistema antes e depois da colisão, e resolvendo, encontraríamos que a massa permanece a mesma que calculamos anteriormente:

Resposta

A massa da nova partícula é . Mesmo observando a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso, o valor de continua sendo .

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