Duas partículas idênticas de massa de repouso m0 e velocidade beta c em sentidos opostos colidem frontalmente e dão origem a uma partícula de massa m em repouso. Qual o valor de m ? Se essa colisão fosse vista por um referencial que vê uma das partículas em repouso, qual seria o valor de m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de colisão de partículas no contexto da Relatividade Especial. Basicamente, são duas partículas com a mesma massa de repouso m0, movendo-se em direções opostas com velocidade beta c, onde c é a velocidade da luz. Quando elas colidem frontalmente, formam uma nova partícula de massa m que fica parada. Precisamos descobrir o valor de m. Além disso, queremos saber qual seria esse valor de m se observássemos a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de energia e momento na Relatividade Especial. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados; vou explicar conforme a gente avança.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a colisão no referencial onde ambas as partículas estão se movendo com velocidade beta c em direções opostas. Esse é o referencial do centro de massa, onde o momento total antes da colisão é zero porque as partículas têm momentos iguais e opostos.
Na Relatividade Especial, a energia total de uma partícula é dada por:
E = gamma m0 c^2
onde gamma = 1raiz1 - beta^2 é o fator de Lorentz.
Como temos duas partículas, a energia total antes da colisão é:
Etotal = 2 gamma m0 c^2
Após a colisão, a nova partícula está em repouso, então sua energia é simplesmente sua massa de repouso multiplicada por c^2:
E' = m c^2
Pela conservação de energia, a energia total antes da colisão deve ser igual à energia total após a colisão:
2 gamma m0 c^2 = m c^2
Podemos simplificar cancelando c^2 dos dois lados:
m = 2 gamma m0
Então, a massa m da nova partícula é:
m = 2 gamma m0 = 2 m0raiz1 - beta^2

Passo 3

Agora, vamos olhar a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso. Nesse referencial, apenas uma partícula está se movendo com velocidade beta c, enquanto a outra está parada.
Vamos identificar a energia e o momento das partículas nesse referencial:
  • A partícula em repouso tem energia E = m0 c^2 e momento p = 0.
  • A partícula em movimento tem energia E = gamma m0 c^2 e momento p = gamma m0 beta c.
Ao colidirem, elas formam uma nova partícula. Pela conservação do momento, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento após a colisão. A nova partícula deve ter o mesmo momento total:
ptotal = gamma m0 beta c
A massa da nova partícula m no referencial atual terá energia:
E' = gamma m c^2
e momento:
p' = gamma m beta' c
But since the final particle has velocity beta', and a certain mass m, we can relate energia e momento.
No entanto, para simplificar, podemos utilizar a invariância do quadrado do vetor energia-momento, que é dado por:
E^2 - (pc)^2 = (m0 c^2)^2
Aplicando isso ao sistema antes e depois da colisão, e resolvendo, encontraríamos que a massa m permanece a mesma que calculamos anteriormente:
m = 2 m0raiz1 - beta^2

Resposta

A massa da nova partícula é m = dfrac2 m0raiz1 - beta^2. Mesmo observando a colisão de um referencial onde uma das partículas está em repouso, o valor de m continua sendo m = dfrac2 m0raiz1 - beta^2.

Exercícios relacionados