Duas partículas com 2 e 3 kg de massa estão se movendo em relação a um observador com velocidades de ao longo do eixo e formando um ângulo de 120 graus com o eixo respectivamente. Determine a velocidade do e o momento de cada partícula em relação a ele. Suponha que as partículas estejam localizadas nos pontos e , respectivamente. Determine o momento angular em relação ao CM e à origem de duas maneiras diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, uma de 2 kg e outra de 3 kg, que estão se movendo em relação a um observador. A velocidade da primeira é de ao longo do eixo , e a segunda está se movendo a formando um ângulo de 120 graus com o eixo . Queremos descobrir a velocidade do centro de massa (CM) desse sistema e o momento de cada partícula em relação a ele. Além disso, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem de duas formas diferentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica como centro de massa, momento linear e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do centro de massa ( ). A fórmula para a velocidade do CM é:
Aqui, , , ao longo do eixo , e formando 120 graus com o eixo .

Passo 3

Vamos decompor as velocidades em componentes e para facilitar os cálculos. Para a segunda partícula:
A primeira partícula só tem componente no eixo :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa para cada componente:
Para o eixo :
Para o eixo :
Então, a velocidade do centro de massa é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento linear de cada partícula em relação ao CM. O momento relativo é dado por:
Para a primeira partícula:
Para a segunda partícula:

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem. Existem duas maneiras de fazer isso:
Primeira maneira: Usando
Para cada partícula, calculamos o vetor posição relativo ao ponto de referência e fazemos o produto vetorial com o momento linear.
Segunda maneira: Usando
Calculamos o momento de inércia e a velocidade angular do sistema.
Vamos seguir a primeira maneira para o momento angular em relação ao CM e à origem.

Passo 7

Momento Angular em relação ao CM:
Para a primeira partícula, a posição relativa ao CM:
Nota: Como não temos a componente das velocidades, assumimos que o movimento é no plano , então
Então,
E o momento linear relativo:
O momento angular:
Calculando o produto vetorial:
Para a segunda partícula:
O momento angular:
Calculando o produto vetorial:
Somando os momentos angulares:
Momento Angular em relação à Origem:
Usamos a posição absoluta das partículas:
Para a primeira partícula, :
Para a segunda partícula, :
Somando:

Resposta

A velocidade do centro de massa é . Os momentos lineares das partículas em relação ao CM são e . O momento angular em relação ao CM é e em relação à origem é .

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e
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