Duas partículas com 2 e 3 kg de massa estão se movendo em relação a um observador com velocidades de
ao longo do eixo
e
formando um ângulo de 120 graus com o eixo
respectivamente. Determine a velocidade do
e o momento de cada partícula em relação a ele. Suponha que as partículas estejam localizadas nos pontos
e
, respectivamente. Determine o momento angular em relação ao CM e à origem de duas maneiras diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, uma de 2 kg e outra de 3 kg, que estão se movendo em relação a um observador. A velocidade da primeira é de
ao longo do eixo
, e a segunda está se movendo a
formando um ângulo de 120 graus com o eixo
. Queremos descobrir a velocidade do centro de massa (CM) desse sistema e o momento de cada partícula em relação a ele. Além disso, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem de duas formas diferentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica como centro de massa, momento linear e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do centro de massa (
). A fórmula para a velocidade do CM é:
Aqui,
,
,
ao longo do eixo
, e
formando 120 graus com o eixo
.
Passo 3
Vamos decompor as velocidades em componentes
e
para facilitar os cálculos. Para a segunda partícula:
A primeira partícula só tem componente no eixo
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa para cada componente:
Para o eixo
:
Para o eixo
:
Então, a velocidade do centro de massa é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento linear de cada partícula em relação ao CM. O momento relativo é dado por:
Para a primeira partícula:
Para a segunda partícula:
Passo 6
Agora, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem. Existem duas maneiras de fazer isso:
Primeira maneira: Usando
Para cada partícula, calculamos o vetor posição relativo ao ponto de referência e fazemos o produto vetorial com o momento linear.
Segunda maneira: Usando
Calculamos o momento de inércia
e a velocidade angular
do sistema.
Vamos seguir a primeira maneira para o momento angular em relação ao CM e à origem.
Passo 7
Momento Angular em relação ao CM:
Para a primeira partícula, a posição relativa ao CM:
Nota: Como não temos a componente
das velocidades, assumimos que o movimento é no plano
, então
Então,
E o momento linear relativo:
O momento angular:
Calculando o produto vetorial:
Para a segunda partícula:
O momento angular:
Calculando o produto vetorial:
Somando os momentos angulares:
Momento Angular em relação à Origem:
Usamos a posição absoluta das partículas:
Para a primeira partícula,
:
Para a segunda partícula,
:
Somando:
Resposta
A velocidade do centro de massa é
. Os momentos lineares das partículas em relação ao CM são
e
. O momento angular em relação ao CM é
e em relação à origem é
.
Exercícios relacionados
Verifica-se experimentalmente que na colisão frontal de duas esferas sólidas as velocidades após a colisão são relacionads com as de antes pela expressão
onde
tem um valor entre 0 e 1 e é chamado de coeficiente de restituição (resultado devido a Newton e
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
e
onde
é a diferença entre as energias cinéticas final e inicial.
Considerando
e
, determine:
As deformações principais e
e a deformação por cisalhamento máxima no ponto.
As deformações principais
Uma partícula de massa
e velocidade
colide frontalmente com outra de massa
em repouso. Se o coeficiente de restituição é tal que
é máximo, determine as velocidades após a colisão
Uma engrenagem com peso W é acoplada no centro de um eixo que possui diâmetro constante e é apoiado nas extremidades. Avalie a velocidade crítica do eixo em função do comprimento L e desconsiderando o seu peso. Resposta:
.