Duas partículas com 2 e 3 kg de massa estão se movendo em relação a um observador com velocidades de 10 m / s ao longo do eixo X e 8 m / s formando um ângulo de 120 graus com o eixo X respectivamente. Determine a velocidade do C M e o momento de cada partícula em relação a ele. Suponha que as partículas estejam localizadas nos pontos (0,1,1) e (-1,0,2), respectivamente. Determine o momento angular em relação ao CM e à origem de duas maneiras diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas, uma de 2 kg e outra de 3 kg, que estão se movendo em relação a um observador. A velocidade da primeira é de 10 m/s ao longo do eixo X, e a segunda está se movendo a 8 m/s formando um ângulo de 120 graus com o eixo X. Queremos descobrir a velocidade do centro de massa (CM) desse sistema e o momento de cada partícula em relação a ele. Além disso, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem de duas formas diferentes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica como centro de massa, momento linear e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do centro de massa ( vCM). A fórmula para a velocidade do CM é:
vCM = m1 v1 + m2 v2m1 + m2
Aqui, m1 = 2,kg, m2 = 3,kg, v1 = 10,m/s ao longo do eixo X, e v2 = 8,m/s formando 120 graus com o eixo X.

Passo 3

Vamos decompor as velocidades em componentes X e Y para facilitar os cálculos. Para a segunda partícula:
v2x = 8 cos(120^circ) = 8 times (-0.5) = -4,m/s
v2y = 8 sin(120^circ) = 8 times raiz32 approx 6.928,m/s
A primeira partícula só tem componente no eixo X:
v1x = 10,m/s, v1y = 0,m/s

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do centro de massa para cada componente:
Para o eixo X:
vCMx = (2)(10) + (3)(-4)2 + 3 = 20 - 125 = 85 = 1.6,m/s
Para o eixo Y:
vCMy = (2)(0) + (3)(6.928)2 + 3 = 0 + 20.7845 = 4.1568,m/s
Então, a velocidade do centro de massa é:
vCM = (1.6,m/s),i + (4.1568,m/s),j

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento linear de cada partícula em relação ao CM. O momento relativo é dado por:
pi' = mi (vi - vCM)
Para a primeira partícula:
p1' = 2 (10,i - 1.6,i - 4.1568,j) = 2 (8.4,i - 4.1568,j) = 16.8,i - 8.3136,j,kg cdot m/s
Para a segunda partícula:
p2' = 3 (-4,i + 6.928,j - 1.6,i - 4.1568,j) = 3 (-5.6,i + 2.7712,j) = -16.8,i + 8.3136,j,kg cdot m/s

Passo 6

Agora, vamos calcular o momento angular em relação ao CM e à origem. Existem duas maneiras de fazer isso:
Primeira maneira: Usando L = r times p
Para cada partícula, calculamos o vetor posição relativo ao ponto de referência e fazemos o produto vetorial com o momento linear.
Segunda maneira: Usando L = I omega
Calculamos o momento de inércia I e a velocidade angular omega do sistema.
Vamos seguir a primeira maneira para o momento angular em relação ao CM e à origem.

Passo 7

Momento Angular em relação ao CM:
Para a primeira partícula, a posição relativa ao CM:
r1' = (0 - xCM, 1 - yCM, 1 - zCM) = (-1.6, 1 - 4.1568, 1 - zCM)
Nota: Como não temos a componente z das velocidades, assumimos que o movimento é no plano XY, então zCM = (2)(1) + (3)(2)2 + 3 = 2 + 65 = 1.6
Então,
r1' = (-1.6, -3.1568, 0)
E o momento linear relativo:
p1' = 16.8,i - 8.3136,j
O momento angular:
L1' = r1' times p1'
Calculando o produto vetorial:
L1' = (-1.6)(-8.3136) k = 13.3018,k ,kg cdot m^2/s
Para a segunda partícula:
r2' = (-1 - xCM, 0 - yCM, 2 - zCM) = (-1 -1.6, -4.1568, 0)
r2' = (-2.6, -4.1568, 0)
p2' = -16.8,i + 8.3136,j
O momento angular:
L2' = r2' times p2'
Calculando o produto vetorial:
L2' = (-2.6)(8.3136) k = -21.614,k ,kg cdot m^2/s
Somando os momentos angulares:
LCM = L1' + L2' = 13.3018,k - 21.614,k = -8.3122,k ,kg cdot m^2/s
Momento Angular em relação à Origem:
Usamos a posição absoluta das partículas:
Para a primeira partícula, r1 = (0,1,1):
L1 = r1 times p1 = (0,i +1,j +1,k) times (20,i +0,j) = (1)(0) - (1)(20) k = -20,k ,kg cdot m^2/s
Para a segunda partícula, r2 = (-1,0,2):
L2 = r2 times p2 = (-1,i +0,j +2,k) times (-24,i +0,j) = (0)(0) - (2)(-24) k = 48,k ,kg cdot m^2/s
Somando:
LOri>=m = L1 + L2 = -20,k + 48,k = 28,k ,kg cdot m^2/s

Resposta

A velocidade do centro de massa é vCM = 1.6,i + 4.1568,j,m/s. Os momentos lineares das partículas em relação ao CM são p1' = 16.8,i - 8.3136,j,kg cdot m/s e p2' = -16.8,i + 8.3136,j,kg cdot m/s. O momento angular em relação ao CM é -8.3122,k,kg cdot m^2/s e em relação à origem é 28,k,kg cdot m^2/s.

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