Uma partícula de massa m e velocidade v1 colide frontalmente com outra de massa 2 m em repouso. Se o coeficiente de restituição é tal que Q é máximo, determine as velocidades após a colisão

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa m e velocidade v1 que bate frontalmente em outra partícula com massa 2m que está parada. O coeficiente de restituição e é tal que a energia dissipada na colisão Q é máxima. Nosso objetivo é encontrar as velocidades das duas partículas depois da colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e definição de coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação de momento. Na ausência de forças externas, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. O momento ( p) é dado por p = m times v.
Antes da colisão, a primeira partícula tem momento p1 = m v1 e a segunda está parada, então p2 = 0. Portanto, o momento total inicial é:
pinicial = m v1 + 0 = m v1

Passo 3

Depois da colisão, vamos chamar as velocidades das partículas de v1' e v2'. O momento total após a colisão será:
pfinal = m v1' + 2m v2'
Pela conservação de momento:
m v1 = m v1' + 2m v2'
Podemos simplificar dividindo todos os termos por m:
v1 = v1' + 2 v2'

Passo 4

Agora, vamos lembrar do coeficiente de restituição e, que mede a rapidez com que as duas partículas se separam após a colisão. Ele é definido por:
e = v2' - v1'v1
Queremos que a energia dissipada Q seja máxima. A energia dissipada está relacionada à energia cinética perdida durante a colisão. Para maximizar Q, precisamos minimizar a energia cinética final, o que acontece quando o coeficiente de restituição e é mínimo. No entanto, conforme o enunciado, Q é máximo, então vamos considerar o caso ideal onde a colisão é perfeitamente inelástica, ou seja, e = 0.

Passo 5

Se e = 0, então:
v2' - v1' = 0 Rightarrow v2' = v1'
Isso significa que as duas partículas ficarão com a mesma velocidade após a colisão.

Passo 6

Voltando à equação da conservação de momento:
v1 = v1' + 2 v2' Como v2' = v1', v1 = v1' + 2 v1' v1 = 3 v1' Rightarrow v1' = v13
E como v2' = v1', temos:
v2' = v13

Resposta

Após a colisão, ambas as partículas movimentam-se com a velocidade v1' = v2' = dfracv13.

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