Uma partícula de massa e velocidade colide frontalmente com outra de massa em repouso. Se o coeficiente de restituição é tal que é máximo, determine as velocidades após a colisão

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa e velocidade que bate frontalmente em outra partícula com massa que está parada. O coeficiente de restituição é tal que a energia dissipada na colisão é máxima. Nosso objetivo é encontrar as velocidades das duas partículas depois da colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e definição de coeficiente de restituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é conservação de momento. Na ausência de forças externas, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. O momento ( ) é dado por .
Antes da colisão, a primeira partícula tem momento e a segunda está parada, então . Portanto, o momento total inicial é:

Passo 3

Depois da colisão, vamos chamar as velocidades das partículas de e . O momento total após a colisão será:
Pela conservação de momento:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :

Passo 4

Agora, vamos lembrar do coeficiente de restituição , que mede a rapidez com que as duas partículas se separam após a colisão. Ele é definido por:
Queremos que a energia dissipada seja máxima. A energia dissipada está relacionada à energia cinética perdida durante a colisão. Para maximizar , precisamos minimizar a energia cinética final, o que acontece quando o coeficiente de restituição é mínimo. No entanto, conforme o enunciado, é máximo, então vamos considerar o caso ideal onde a colisão é perfeitamente inelástica, ou seja, .

Passo 5

Se , então:
Isso significa que as duas partículas ficarão com a mesma velocidade após a colisão.

Passo 6

Voltando à equação da conservação de momento:
E como , temos:

Resposta

Após a colisão, ambas as partículas movimentam-se com a velocidade .

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e
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