Uma partícula de massa
e velocidade
colide frontalmente com outra de massa
em repouso. Se o coeficiente de restituição é tal que
é máximo, determine as velocidades após a colisão
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula com massa
e velocidade
que bate frontalmente em outra partícula com massa
que está parada. O coeficiente de restituição
é tal que a energia dissipada na colisão
é máxima. Nosso objetivo é encontrar as velocidades das duas partículas depois da colisão. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e definição de coeficiente de restituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é conservação de momento. Na ausência de forças externas, o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. O momento (
) é dado por
.
Antes da colisão, a primeira partícula tem momento
e a segunda está parada, então
. Portanto, o momento total inicial é:
Passo 3
Depois da colisão, vamos chamar as velocidades das partículas de
e
. O momento total após a colisão será:
Pela conservação de momento:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Passo 4
Agora, vamos lembrar do coeficiente de restituição
, que mede a rapidez com que as duas partículas se separam após a colisão. Ele é definido por:
Queremos que a energia dissipada
seja máxima. A energia dissipada está relacionada à energia cinética perdida durante a colisão. Para maximizar
, precisamos minimizar a energia cinética final, o que acontece quando o coeficiente de restituição
é mínimo. No entanto, conforme o enunciado,
é máximo, então vamos considerar o caso ideal onde a colisão é perfeitamente inelástica, ou seja,
.
Passo 5
Se
, então:
Isso significa que as duas partículas ficarão com a mesma velocidade após a colisão.
Passo 6
Voltando à equação da conservação de momento:
E como
, temos:
Resposta
Após a colisão, ambas as partículas movimentam-se com a velocidade
.
Exercícios relacionados
Duas partículas com 2 e 3 kg de massa estão se movendo em relação a um observador com velocidades de
ao longo do eixo
e
formando um ângulo de 120 graus com o eixo
respectivamente. Determine a velocidade do
e o momento de cada partícula em relação a ele. Suponha que as partículas estejam localizadas nos pontos
e
, respectivamente. Determine o momento angular em relação ao CM e à origem de duas maneiras diferentes.
Verifica-se experimentalmente que na colisão frontal de duas esferas sólidas as velocidades após a colisão são relacionads com as de antes pela expressão
onde
tem um valor entre 0 e 1 e é chamado de coeficiente de restituição (resultado devido a Newton e
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
e
onde
é a diferença entre as energias cinéticas final e inicial.
Uma engrenagem com peso W é acoplada no centro de um eixo que possui diâmetro constante e é apoiado nas extremidades. Avalie a velocidade crítica do eixo em função do comprimento L e desconsiderando o seu peso. Resposta:
.
Uma força de intensidade
é aplicada sobre um bloco de massa
no instante que sua velocidade é igual a
. Sabendo que existe uma força contrária de intensidade igual a
, calcule a velocidade do bloco no instante
.