Verifica-se experimentalmente que na colisão frontal de duas esferas sólidas as velocidades após a colisão são relacionads com as de antes pela expressão onde tem um valor entre 0 e 1 e é chamado de coeficiente de restituição (resultado devido a Newton e
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
e
onde é a diferença entre as energias cinéticas final e inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a colisão frontal de duas esferas sólidas. A gente vai trabalhar com cinemática das colisões e coeficiente de restituição. Precisamos usar as leis de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para achar as velocidades após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois. A fórmula é:
Aqui, e são as massas das esferas, e são as velocidades antes da colisão, e e são as velocidades depois da colisão.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição do coeficiente de restituição (e), que relaciona as velocidades relativas após e antes da colisão:
Isso nos dá uma segunda equação relacionando e .

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ). Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:

Passo 5

Substituímos da equação acima na primeira equação de conservação de momento:

Passo 6

Distribuímos o dentro dos colchetes:

Passo 7

Agrupamos os termos com :

Passo 8

Isolamos :

Passo 9

Da equação , agora que temos , substituímos para achar :
Após simplificação, obtemos:

Passo 10

Agora que temos e , podemos calcular a diferença das energias cinéticas. A energia cinética é dada por:
A diferença entre as energias final e inicial é:

Passo 11

Após substituir e e simplificar, chegamos à expressão:

Resposta

As velocidades após a colisão são
e
Além disso, a diferença entre as energias cinéticas final e inicial é

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