Verifica-se experimentalmente que na colisão frontal de duas esferas sólidas as velocidades após a colisão são relacionads com as de antes pela expressão v1^prime-v2^prime=e(v1-v2 onde e tem um valor entre 0 e 1 e é chamado de coeficiente de restituição (resultado devido a Newton e
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
v1^prime=v1(m1-m2 e)+v2 m2(1+e)m1+m2 e v2^prime=v2(m2-m1 e)+v1 m1(1+e)m1+m2
e
Q=-12(1-e^2) m1 m2m1+m2(v1-v2)^2
onde Q é a diferença entre as energias cinéticas final e inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a colisão frontal de duas esferas sólidas. A gente vai trabalhar com cinemática das colisões e coeficiente de restituição. Precisamos usar as leis de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para achar as velocidades após a colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois. A fórmula é:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'
Aqui, e são as massas das esferas, e são as velocidades antes da colisão, e e são as velocidades depois da colisão.

Passo 3

Agora, vamos usar a definição do coeficiente de restituição (e), que relaciona as velocidades relativas após e antes da colisão:
v1' - v2' = e(v1 - v2)
Isso nos dá uma segunda equação relacionando e .

Passo 4

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas ( v1' = v2' + e(v1 - v2) e ). Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:

Passo 5

Substituímos m1 v1 + m2 v2 = m1 [v2' + e(v1 - v2)] + m2 v2' da equação acima na primeira equação de conservação de momento:

Passo 6

Distribuímos o m1 v1 + m2 v2 = m1 v2' + m1 e (v1 - v2) + m2 v2' dentro dos colchetes:

Passo 7

Agrupamos os termos com m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v2' + m1 e v1 - m1 e v2 :

Passo 8

Isolamos (m1 + m2) v2' = m1 v1 + m2 v2 - m1 e v1 + m1 e v2 :
v2' = m1 v1 (1 - e) + m2 v2 (1 + e)m1 + m2

Passo 9

Da equação v1' = m1 v1 (1 - e) + m2 v2 (1 + e)m1 + m2 + e(v1 - v2) , agora que temos v1' = v1(m1 - m2 e) + v2 m2 (1 + e)m1 + m2 , substituímos para achar :
Após simplificação, obtemos:

Passo 10

Agora que temos E = 12 m v^2 e Q = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2 - ( 12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 ) , podemos calcular a diferença das energias cinéticas. A energia cinética é dada por:
A diferença entre as energias final e inicial é:

Passo 11

Após substituir Q = -12(1 - e^2) m1 m2m1 + m2 (v1 - v2)^2 e e simplificar, chegamos à expressão:

Resposta

As velocidades após a colisão são
v1^prime=v1(m1-m2 e)+v2 m2(1+e)m1+m2
e
v2^prime=v2(m2-m1 e)+v1 m1(1+e)m1+m2
Além disso, a diferença entre as energias cinéticas final e inicial é
Q=-12(1-e^2) m1 m2m1+m2(v1-v2)^2

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