Verifica-se experimentalmente que na colisão frontal de duas esferas sólidas as velocidades após a colisão são relacionads com as de antes pela expressão
onde
tem um valor entre 0 e 1 e é chamado de coeficiente de restituição (resultado devido a Newton e
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
e
onde
é a diferença entre as energias cinéticas final e inicial.
tem validade aproximada). Mostre que as velocidades após a colisão são dadas por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a colisão frontal de duas esferas sólidas. A gente vai trabalhar com cinemática das colisões e coeficiente de restituição. Precisamos usar as leis de conservação de momento e a definição do coeficiente de restituição para achar as velocidades após a colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois. A fórmula é:
Aqui,
e
são as massas das esferas,
e
são as velocidades antes da colisão, e
e
são as velocidades depois da colisão.
Passo 3
Agora, vamos usar a definição do coeficiente de restituição (e), que relaciona as velocidades relativas após e antes da colisão:
Isso nos dá uma segunda equação relacionando
e
.
Passo 4
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
). Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
Passo 5
Substituímos
da equação acima na primeira equação de conservação de momento:
Passo 6
Distribuímos o
dentro dos colchetes:
Passo 7
Agrupamos os termos com
:
Passo 8
Isolamos
:
Passo 9
Da equação
, agora que temos
, substituímos para achar
:
Após simplificação, obtemos:
Passo 10
Agora que temos
e
, podemos calcular a diferença das energias cinéticas. A energia cinética é dada por:
A diferença
entre as energias final e inicial é:
Passo 11
Após substituir
e
e simplificar, chegamos à expressão:
Resposta
As velocidades após a colisão são
e
Além disso, a diferença entre as energias cinéticas final e inicial é