Uma engrenagem com peso W é acoplada no centro de um eixo que possui diâmetro constante e é apoiado nas extremidades. Avalie a velocidade crítica do eixo em função do comprimento L e desconsiderando o seu peso. Resposta: omega1=raiz48 E I g / W L^3.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma engrenagem com peso acoplada no centro de um eixo de diâmetro constante, apoiado nas extremidades. Precisamos encontrar a velocidade crítica do eixo em função do comprimento , desconsiderando o peso do próprio eixo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de estruturas e dinâmica de sistemas rotativos, especificamente sobre velocidade crítica e estabilidade de vigas. Precisaremos conhecer o módulo de elasticidade (E), o momento de inércia (I) da seção do eixo, e a relação entre essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade crítica. É a velocidade à qual o eixo começa a vibrar de forma instável devido às forças que atuam sobre ele, podendo levar a falhas estruturais. Portanto, é importante calcular essa velocidade para garantir que o eixo opere abaixo desse limite seguro.

Passo 3

Para calcular a velocidade crítica, podemos usar a equação que relaciona as propriedades do material do eixo e as forças aplicadas. A fórmula básica para a velocidade crítica omega = raizdfrackm de um eixo simplesmente apoiado com uma carga central é:
Onde:
  • é a constante elástica do eixo.
  • é a massa equivalente à carga aplicada.

Passo 4

Vamos agora relacionar a constante elástica k = dfrac48 E IL^3 com as propriedades do eixo. A constante elástica para um eixo apoiado nas extremidades e carregado no centro pode ser expressa em termos do módulo de elasticidade , momento de inércia , e comprimento :
Aqui, consideramos que a carga está concentrada no centro e o eixo está sujeito a flexão.

Passo 5

A massa equivalente m = dfracWg relacionada ao peso da engrenagem é:
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Substituindo omega = raizdfracdfrac48 E IL^3dfracWg = raizdfrac48 E I gW L^3 e na fórmula da velocidade crítica:

Resposta

omega1=raizdfrac48 E I gW L^3

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