Uma engrenagem com peso W é acoplada no centro de um eixo que possui diâmetro constante e é apoiado nas extremidades. Avalie a velocidade crítica do eixo em função do comprimento L e desconsiderando o seu peso. Resposta:
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma engrenagem com peso
acoplada no centro de um eixo de diâmetro constante, apoiado nas extremidades. Precisamos encontrar a velocidade crítica
do eixo em função do comprimento
, desconsiderando o peso do próprio eixo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de estruturas e dinâmica de sistemas rotativos, especificamente sobre velocidade crítica e estabilidade de vigas. Precisaremos conhecer o módulo de elasticidade (E), o momento de inércia (I) da seção do eixo, e a relação entre essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade crítica. É a velocidade à qual o eixo começa a vibrar de forma instável devido às forças que atuam sobre ele, podendo levar a falhas estruturais. Portanto, é importante calcular essa velocidade para garantir que o eixo opere abaixo desse limite seguro.
Passo 3
Para calcular a velocidade crítica, podemos usar a equação que relaciona as propriedades do material do eixo e as forças aplicadas. A fórmula básica para a velocidade crítica
de um eixo simplesmente apoiado com uma carga central é:
Onde:
-
é a constante elástica do eixo. -
é a massa equivalente à carga aplicada.
Passo 4
Vamos agora relacionar a constante elástica
com as propriedades do eixo. A constante elástica para um eixo apoiado nas extremidades e carregado no centro pode ser expressa em termos do módulo de elasticidade
, momento de inércia
, e comprimento
:
Aqui, consideramos que a carga está concentrada no centro e o eixo está sujeito a flexão.
Passo 5
A massa equivalente
relacionada ao peso
da engrenagem é:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula da velocidade crítica: