Duas partículas de massa
e
, respectivamente, estão conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento d e movem-se livremente em um plano. Mostre que o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa é
onde a massa reduzida é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas
e
conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento
. Elas estão se movendo livremente em um plano. Precisamos mostrar que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é igual a
, onde a massa reduzida
é dada por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como calcular o centro de massa e como aplicar a fórmula do momento de inércia em relação a esse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de cálculo de movimento. A fórmula para o centro de massa em uma dimensão é:
Como a haste tem comprimento
e está entre as duas massas, podemos assumir que uma massa está na posição
e a outra em
. Então:
Passo 3
Agora que temos a posição do centro de massa, precisamos determinar a distância de cada massa até o centro de massa. Vamos chamar essa distância de
.
Para
:
Para
:
Observamos que
. Isso será útil mais tarde.
Passo 4
O momento de inércia (
) de um sistema de partículas em relação a um eixo é dado pela soma dos produtos das massas pelas distâncias ao quadrado até o eixo:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos fatorar
da expressão:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a expressão usando a definição da massa reduzida
. Vamos manipular a expressão para chegar a
:
Resposta
Portanto, o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é
, onde
.