Duas partículas de massa m1 e m2, respectivamente, estão conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento d e movem-se livremente em um plano. Mostre que o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa é mu a^2 onde a massa reduzida é mu=m1 m2 /(m1+m2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas e conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento . Elas estão se movendo livremente em um plano. Precisamos mostrar que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é igual a , onde a massa reduzida é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como calcular o centro de massa e como aplicar a fórmula do momento de inércia em relação a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de cálculo de movimento. A fórmula para o centro de massa em uma dimensão é:
xcm = m1 x1 + m2 x2m1 + m2
Como a haste tem comprimento xcm = m1 cdot 0 + m2 cdot dm1 + m2 = m2 dm1 + m2 e está entre as duas massas, podemos assumir que uma massa está na posição e a outra em . Então:

Passo 3

Agora que temos a posição do centro de massa, precisamos determinar a distância de cada massa até o centro de massa. Vamos chamar essa distância de a = xcm - x1 = m2 dm1 + m2 - 0 = m2 dm1 + m2 .
Para a' = x2 - xcm = d - m2 dm1 + m2 = m1 dm1 + m2 :
Para :
Observamos que . Isso será útil mais tarde.

Passo 4

O momento de inércia ( I = m1 a^2 + m2 a'^2 ) de um sistema de partículas em relação a um eixo é dado pela soma dos produtos das massas pelas distâncias ao quadrado até o eixo:
I = m1 a^2 + m2 ( m1m2 a )^2 = m1 a^2 + m2 cdot m1^2m2^2 a^2 = m1 a^2 + m1^2m2 a^2
Substituindo :

Passo 5

Vamos fatorar I = m1 a^2 ( 1 + m1m2 ) = m1 a^2 ( m2 + m1m2 ) = m1 (m1 + m2)m2 a^2 da expressão:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a expressão usando a definição da massa reduzida I = m1 (m1 + m2)m2 a^2 = m1 m2m1 + m2 a^2 = mu a^2 . Vamos manipular a expressão para chegar a :

Resposta

Portanto, o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é , onde .

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