Duas partículas de massa e , respectivamente, estão conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento d e movem-se livremente em um plano. Mostre que o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo centro de massa é onde a massa reduzida é .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas com massas e conectadas por uma haste rígida e sem massa de comprimento . Elas estão se movendo livremente em um plano. Precisamos mostrar que o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é igual a , onde a massa reduzida é dada por .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia, como calcular o centro de massa e como aplicar a fórmula do momento de inércia em relação a esse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro de massa do sistema. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada para fins de cálculo de movimento. A fórmula para o centro de massa em uma dimensão é:
Como a haste tem comprimento e está entre as duas massas, podemos assumir que uma massa está na posição e a outra em . Então:

Passo 3

Agora que temos a posição do centro de massa, precisamos determinar a distância de cada massa até o centro de massa. Vamos chamar essa distância de .
Para :
Para :
Observamos que . Isso será útil mais tarde.

Passo 4

O momento de inércia ( ) de um sistema de partículas em relação a um eixo é dado pela soma dos produtos das massas pelas distâncias ao quadrado até o eixo:
Substituindo :

Passo 5

Vamos fatorar da expressão:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a expressão usando a definição da massa reduzida . Vamos manipular a expressão para chegar a :

Resposta

Portanto, o momento de inércia do sistema em relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo centro de massa é , onde .

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