Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar. Calcule a velocidade do bloco que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um cilindro que está girando sem atrito e um bloco que cai amarrado a um cabo enrolado nele. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica para encontrar a velocidade do bloco quando ele atinge o solo e a velocidade angular do cilindro nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o bloco está caindo devido à gravidade, e ao mesmo tempo, está fazendo com que o cilindro gire. Como o cabo não estica nem desliza, a velocidade do bloco está diretamente relacionada à velocidade angular do cilindro.

Passo 3

Vamos começar identificando as forças agindo no bloco. A única força que faz o bloco acelerar para baixo é o peso dele, que é , onde é a massa do bloco e é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Agora, para o cilindro, o torque ( tau = T cdot R ) causado pela tensão do cabo ( ) faz ele girar. O torque é dado por:
onde é o raio do cilindro.

Passo 5

A relação entre o torque e o momento de inércia ( tau = I cdot alpha ) do cilindro e a aceleração angular ( I = 12 M R^2 ) é:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
onde é a massa do cilindro.

Passo 6

Sabendo que a aceleração do bloco ( a = alpha R ) está relacionada à aceleração angular do cilindro pela equação:
Podemos substituir na equação do torque.

Passo 7

Vamos agora montar as equações de movimento para o bloco e para o cilindro.
Para o bloco:
mg - T = m a
Para o cilindro:
T R = I alpha = 12 M R^2 cdot aR = 12 M R a

Passo 8

Resolvendo a equação do cilindro para T = 12 M a :

Passo 9

Substituindo mg - 12 M a = m a na equação do bloco:

Passo 10

Agora, vamos resolver para mg = m a + 12 M a mg = a ( m + 12 M ) a = mgm + 12 M :

Passo 11

Agora que temos a aceleração do bloco, podemos encontrar a velocidade final usando a equação da cinemática:
v^2 = 2 a h
Então:
v = raiz2 a h = raiz2 cdot mgm + 12 M cdot h

Passo 12

Com a aceleração omega = aR = mgR ( m + 12 M ) , podemos também encontrar a velocidade angular do cilindro:

Resposta

A velocidade do bloco ao atingir o solo é:
v = raiz 2 m g hm + 12 M
E a velocidade angular do cilindro nesse instante é:
omega = m gR ( m + 12 M )

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