Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R. O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário. Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h acima do solo. À medida que o bloco cai, o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar. Calcule a velocidade do bloco que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um cilindro que está girando sem atrito e um bloco que cai amarrado a um cabo enrolado nele. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica para encontrar a velocidade do bloco quando ele atinge o solo e a velocidade angular do cilindro nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o bloco está caindo devido à gravidade, e ao mesmo tempo, está fazendo com que o cilindro gire. Como o cabo não estica nem desliza, a velocidade do bloco está diretamente relacionada à velocidade angular do cilindro.
Passo 3
Vamos começar identificando as forças agindo no bloco. A única força que faz o bloco acelerar para baixo é o peso dele, que é
, onde
é a massa do bloco e
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Agora, para o cilindro, o torque (
) causado pela tensão do cabo (
) faz ele girar. O torque é dado por:
onde
é o raio do cilindro.
Passo 5
A relação entre o torque e o momento de inércia (
) do cilindro e a aceleração angular (
) é:
Para um cilindro sólido, o momento de inércia é:
onde
é a massa do cilindro.
Passo 6
Sabendo que a aceleração do bloco (
) está relacionada à aceleração angular do cilindro pela equação:
Podemos substituir
na equação do torque.
Passo 7
Vamos agora montar as equações de movimento para o bloco e para o cilindro.
Para o bloco:
Para o cilindro:
Passo 8
Resolvendo a equação do cilindro para
:
Passo 9
Substituindo
na equação do bloco:
Passo 10
Agora, vamos resolver para
:
Passo 11
Agora que temos a aceleração do bloco, podemos encontrar a velocidade final usando a equação da cinemática:
Então:
Passo 12
Com a aceleração
, podemos também encontrar a velocidade angular
do cilindro:
Resposta
A velocidade do bloco ao atingir o solo é:
E a velocidade angular do cilindro nesse instante é: