(a) Um foguete está no espaço sideral, longe de qualquer planeta, quando seu motor é acionado. Na primeira etapa da queima, o foguete ejeta de sua massa inicial com uma velocidade relativa igual a . Qual é a aceleração inicial do foguete? (b) Suponha que da massa inicial do item (a) seja de combustível, de modo que o combustível seja consumido com uma taxa constante em um intervalo total de 90 s . A massa final do foguete é . Se o foguete parte do repouso em nosso sistema de coordenadas, calcule sua velocidade nesse instante final.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício de física que envolve um foguete no espaço. Nele, vamos aplicar conceitos de Mecânica dos Gases e Movimento Relativo para calcular a aceleração inicial do foguete e sua velocidade final após queimar parte do combustível. Vamos precisar usar fórmulas de conservação de momento e entender como a massa e a velocidade do foguete mudam durante a queima do combustível.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. Temos um foguete que está no espaço e seu motor é acionado. Durante a primeira etapa da queima, ele ejetou uma parte da sua massa com uma certa velocidade. Queremos encontrar a aceleração inicial do foguete.

Passo 3

Vamos identificar os dados fornecidos:
  • Massa inicial do foguete:
  • Fração da massa ejetada: de
  • Velocidade relativa da massa ejetada:

Passo 4

Sabemos que a força resultante que atua no foguete é igual à taxa de mudança de momento. A fórmula para a força de propulsão é:
onde:
  • é a massa ejetada,
  • é o intervalo de tempo,
  • é a velocidade de ejeção.
No entanto, como estamos procurando a aceleração, podemos relacionar a força com a segunda lei de Newton.

Passo 5

A segunda lei de Newton nos diz que , onde:
  • é a massa do foguete,
  • é a aceleração.
Então, combinando as duas fórmulas, temos:

Passo 6

No instante inicial, a massa do foguete é aproximadamente , já que apenas uma pequena fração foi ejetada. Podemos rearranjar a equação para encontrar a aceleração :

Passo 7

Como não temos o tempo , precisamos pensar diferentemente. Podemos usar o conceito de impulso. O impulso é igual à mudança de momento, então:
Mas, novamente, sem o tempo, vamos simplificar para encontrar a aceleração imediata.

Passo 8

A aceleração pode ser calculada diretamente pela variação da velocidade causada pela ejeção da massa:
Mas como , podemos relacionar as equações para encontrar .

Passo 9

Finalmente, considerando que a massa ejetada é , a aceleração inicial é:
Mas, para uma aceleração imediata, assumimos tendendo a zero, então a aceleração inicial é infinita. Porém, isso indica que precisamos de mais informações sobre o tempo para calcular a aceleração real.

Passo 10

Parece que precisamos de outra abordagem. Vamos usar a fórmula da aceleração proporcionada pela taxa de variação da massa e a velocidade de ejeção:
Assumindo que a ejeção ocorre de forma contínua e instantânea, a aceleração inicial pode ser vista como:
Mas sem o tempo , não podemos calcular um valor numérico específico para a aceleração.

Passo 11

Vamos reconsiderar a interpretação. Talvez a aceleração inicial possa ser calculada usando a fórmula:
Se considerarmos que a ejeção ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno, podemos simplificar para aproximar a aceleração. No entanto, sem , não conseguimos um valor exato. Parece que o exercício precisa de mais dados ou uma abordagem diferente.

Resposta

Sem informações adicionais sobre o intervalo de tempo , não é possível determinar numericamente a aceleração inicial do foguete na parte (a) do exercício.

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