A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por v(t)=-5.10^7 t^2+ 3.10^5 t onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
a) Determine a aceleração e posição da bala como funções do tempo quando a bala está dentro do cano da arma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Aqui, queremos encontrar a aceleração e a posição da bala enquanto ela está dentro do cano do rifle. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, que nos ajudam a relacionar velocidade, aceleração e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em termos de cálculo, isso significa que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula que temos para a velocidade é:
v(t) = -5 times 10^7 t^2 + 3 times 10^5 t

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa função para encontrar a aceleração ddt ( -5 times 10^7 t^2 ) = -5 times 10^7 times 2 t^1 = -10^8 t . A regra básica de derivação que vamos usar é que a derivada de ddt ( 3 times 10^5 t ) = 3 times 10^5 times 1 t^0 = 3 times 10^5 é a(t) = -10^8 t + 3 times 10^5 .
Derivando cada termo de :
Então, a aceleração é:

Passo 4

Agora que temos a aceleração, vamos encontrar a posição s(t) = integral v(t) , dt = integral ( -5 times 10^7 t^2 + 3 times 10^5 t ) dt da bala. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que vamos integrar a função para encontrar .
A integral de é:

Passo 5

Vamos calcular a integral termo a termo:
integral -5 times 10^7 t^2 , dt = -5 times 10^7 times t^33 = -5 times 10^73 t^3
integral 3 times 10^5 t , dt = 3 times 10^5 times t^22 = 3 times 10^52 t^2
Além disso, precisamos adicionar uma constante de integração s(t) = -5 times 10^73 t^3 + 3 times 10^52 t^2 + C . Para determinar , precisaríamos de uma condição inicial, como a posição inicial da bala. Como não foi fornecida, vamos deixar na expressão final.
Então, a posição é:

Resposta

A aceleração da bala em função do tempo é:
a(t) = -10^8 t + 3 times 10^5
E a posição da bala em função do tempo é:
s(t) = -5 times 10^73 t^3 + 3 times 10^52 t^2 + C

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