A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por
onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
a) Determine a aceleração e posição da bala como funções do tempo quando a bala está dentro do cano da arma.
a) Determine a aceleração e posição da bala como funções do tempo quando a bala está dentro do cano da arma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Aqui, queremos encontrar a aceleração e a posição da bala enquanto ela está dentro do cano do rifle. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas e integrais, que nos ajudam a relacionar velocidade, aceleração e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Em termos de cálculo, isso significa que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula que temos para a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa função para encontrar a aceleração
. A regra básica de derivação que vamos usar é que a derivada de
é
.
Derivando cada termo de
:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Agora que temos a aceleração, vamos encontrar a posição
da bala. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que vamos integrar a função
para encontrar
.
A integral de
é:
Passo 5
Vamos calcular a integral termo a termo:
Além disso, precisamos adicionar uma constante de integração
. Para determinar
, precisaríamos de uma condição inicial, como a posição inicial da bala. Como não foi fornecida, vamos deixar
na expressão final.
Então, a posição é:
Resposta
A aceleração da bala em função do tempo é:
E a posição da bala em função do tempo é:
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e
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e
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onde a massa reduzida é
.