Duas partículas de massas
e
executam movimento harmônico simples de amplitude
e
, respectivamente. Qual é a razão entre seus períodos:
, se a energia total da partícula 1 for duas vezes a da partícula 2 ?
Passo 1
Então, a gente tem um problema de movimento harmônico simples (MHS). Duas partículas com massas
e
estão se mexendo com amplitudes
e
, respectivamente. A gente precisa descobrir a razão entre os períodos
sabendo que a energia total da partícula 1 é o dobro da energia da partícula 2. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da energia total no MHS e da relação entre período e frequência angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
de uma partícula em MHS é dada por:
Aqui,
é a massa,
é a frequência angular, e
é a amplitude.
Passo 3
A frequência angular
está relacionada ao período
pela fórmula:
Portanto, podemos escrever
.
Passo 4
Vamos aplicar essas fórmulas às duas partículas. Para a partícula 1:
E para a partícula 2:
Passo 5
Segundo o enunciado,
. Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos encontrar
. Vamos reorganizar a equação:
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 7
Invertendo a fração para obter
:
Resposta
A razão entre os períodos é: