Duas partículas de massas m1 e m2 executam movimento harmônico simples de amplitude A1 e A2, respectivamente. Qual é a razão entre seus períodos: T1 / T2, se a energia total da partícula 1 for duas vezes a da partícula 2 ?

Passo 1

Então, a gente tem um problema de movimento harmônico simples (MHS). Duas partículas com massas e estão se mexendo com amplitudes e , respectivamente. A gente precisa descobrir a razão entre os períodos sabendo que a energia total da partícula 1 é o dobro da energia da partícula 2. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da energia total no MHS e da relação entre período e frequência angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total E = 12 m omega^2 A^2 de uma partícula em MHS é dada por:
Aqui, é a massa, é a frequência angular, e é a amplitude.

Passo 3

A frequência angular omega = 2piT está relacionada ao período pela fórmula:
Portanto, podemos escrever .

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas às duas partículas. Para a partícula 1:
E1 = 12 m1 omega1^2 A1^2 = 12 m1 ( 4pi^2T1^2 ) A1^2 = 2pi^2 m1 A1^2T1^2
E para a partícula 2:
E2 = 12 m2 omega2^2 A2^2 = 12 m2 ( 4pi^2T2^2 ) A2^2 = 2pi^2 m2 A2^2T2^2

Passo 5

Segundo o enunciado, 2pi^2 m1 A1^2T1^2 = 2 ( 2pi^2 m2 A2^2T2^2 ) . Então:
m1 A1^2T1^2 = 2 m2 A2^2T2^2
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos encontrar T2^2T1^2 = 2 m2 A2^2m1 A1^2 . Vamos reorganizar a equação:
T2T1 = raiz 2 m2 A2^2m1 A1^2
Tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Passo 7

Invertendo a fração para obter T1T2 = raiz m1 A1^22 m2 A2^2 :

Resposta

A razão entre os períodos é:
T1T2 = raiz m1 A1^22 m2 A2^2

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