Prove por indução finita que ∀ n ∈ N
S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n^2

Passo 1

Beleza, vamos provar que para todo número natural , a soma dos primeiros números ímpares é igual a . Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmativas para todos os números naturais, começando com uma base e mostrando que, se funciona para um caso, funciona para o próximo.

Passo 2

Base da indução: Vamos verificar se a afirmação funciona para .
Calculando a soma:
E verificando o lado direito da igualdade:
Como , a base da indução está ok!

Passo 3

Passo da indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Esse é o nosso hipótese de indução.

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 5

Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até :

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão:
Então, mostramos que:

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo ,

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