Prove por indução finita que
Passo 1
Beleza, vamos provar que para todo número natural
, a soma dos
primeiros números ímpares é igual a
. Ou seja, queremos mostrar que:
Para isso, vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmativas para todos os números naturais, começando com uma base e mostrando que, se funciona para um caso, funciona para o próximo.
Passo 2
Base da indução: Vamos verificar se a afirmação funciona para
.
Calculando a soma:
E verificando o lado direito da igualdade:
Como
, a base da indução está ok!
Passo 3
Passo da indução: Vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Esse é o nosso hipótese de indução.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Passo 5
Vamos usar a hipótese de indução para substituir a soma até
:
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão:
Então, mostramos que:
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo
,