Use os gráficos de f abaixo para encontrar um número delta que satisfaça as propriedades requeridas.
(d) A função dada é f(x) = x^2. se |x - 1| < delta então |x^2 - 1| < 1/2
Figura 4: extraída da pág. 107 de [1]

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente tem a função e queremos achar um número que, se , então . A matéria aqui é sobre limites e continuidade de funções, onde a gente usa a definição de para garantir que a função se comporta de maneira controlada perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar manipular as desigualdades e entender como se relaciona com .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Podemos fatorar isso de uma maneira que facilita nosso trabalho:
Aqui, usamos a identidade .

Passo 3

Queremos que . Usando a fatoração que fizemos:
Para simplificar, precisamos controlar tanto quanto .

Passo 4

Vamos supor que . Isso significa que está num intervalo próximo a 1:
Nesse intervalo, podemos estimar :
á

Passo 5

Agora, voltando à nossa desigualdade:
Queremos que isso seja menor que :

Passo 6

Então, para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas ( e ), escolhemos como o menor valor entre elas:

Resposta

A gente pode escolher para satisfazer a condição quando .

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