Use os gráficos de abaixo para encontrar um número que satisfaça as propriedades requeridas.
(d) A função dada é . se então
Figura 4: extraída da pág. 107 de [1]
Passo 1
Beleza, vamos ver qual é o problema aqui. A gente tem a função e queremos achar um número que, se , então . A matéria aqui é sobre limites e continuidade de funções, onde a gente usa a definição de para garantir que a função se comporta de maneira controlada perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar manipular as desigualdades e entender como se relaciona com .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão . Podemos fatorar isso de uma maneira que facilita nosso trabalho:
Aqui, usamos a identidade .
Passo 3
Queremos que . Usando a fatoração que fizemos:
Para simplificar, precisamos controlar tanto quanto .
Passo 4
Vamos supor que . Isso significa que está num intervalo próximo a 1:
Nesse intervalo, podemos estimar :
á
Passo 5
Agora, voltando à nossa desigualdade:
Queremos que isso seja menor que :
Passo 6
Então, para garantir que ambas as condições sejam satisfeitas ( e ), escolhemos como o menor valor entre elas:
Resposta
A gente pode escolher para satisfazer a condição quando .