Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x=6,00 t^2+ 3,00 t+2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a=8,00 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante t = 0 a velocidade é de 20 m / s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas partículas se movendo ao longo do eixo $ x $. A posição da partícula 1 é dada por uma equação que depende do tempo, e a partícula 2 tem uma aceleração que também varia com o tempo. A pergunta é: Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar as velocidades das partículas a partir das informações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na partícula 1. A posição dela está dada pela equação:
x1(t) = 6,00, t^2 + 3,00, t + 2,00
Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então vamos derivar $ x_1(t) $ para encontrar a velocidade $ v_1(t) $:
x1(t)
Então, a velocidade da partícula 1 é:
v1(t)

Passo 3

Agora, vamos para a partícula 2. A aceleração dela é dada por:
a2(t) = 8,00, t
Velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, então vamos integrar $ a_2(t) $ para encontrar $ v_2(t) $:
a2(t)
Temos que encontrar a constante de integração $ C $. Sabemos que, no instante $ t = 0 $, a velocidade é $ 20, m/s $. Vamos usar isso:
v2(t)
Então, a velocidade da partícula 2 é:
v2(t) = integral a2(t), dt = integral 8,00, t, dt = 4,00, t^2 + C

Passo 4

Agora que temos as expressões das velocidades das duas partículas, vamos igualá-las para encontrar o tempo $ t $ onde elas são iguais:
t
Substituindo as equações:
v1(t) = v2(t)
Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo de um lado:
12,00, t + 3,00 = 4,00, t^2 + 20

Passo 5

Temos agora uma equação quadrática na forma $ a t^2 + b t + c = 0 $. Para resolver, vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
a t^2 + b t + c = 0
Onde:
  • $ a = 4,00 $
  • $ b = -12,00 $
  • $ c = 17 $
Calculando:
De

Passo 6

O discriminante $ \Delta $ é negativo ($ -128 $), o que significa que a equação não tem soluções reais. Isso quer dizer que não existe um instante no tempo em que as velocidades das duas partículas sejam iguais.

Resposta

As duas partículas nunca têm a mesma velocidade.

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