Duas partículas se movem ao longo do eixo
. A posição da partícula 1 é dada por
, onde
está em metros e
em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por
, onde a está em metros por segundo ao quadrado e tem segundos. No instante t = 0 a velocidade é de
. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas partículas se movendo ao longo do eixo $ x $. A posição da partícula 1 é dada por uma equação que depende do tempo, e a partícula 2 tem uma aceleração que também varia com o tempo. A pergunta é: Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e integrais, para encontrar as velocidades das partículas a partir das informações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na partícula 1. A posição dela está dada pela equação:
Velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, então vamos derivar $ x_1(t) $ para encontrar a velocidade $ v_1(t) $:
Então, a velocidade da partícula 1 é:
Passo 3
Agora, vamos para a partícula 2. A aceleração dela é dada por:
Velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, então vamos integrar $ a_2(t) $ para encontrar $ v_2(t) $:
Temos que encontrar a constante de integração $ C $. Sabemos que, no instante $ t = 0 $, a velocidade é $ 20, m/s $. Vamos usar isso:
Então, a velocidade da partícula 2 é:
Passo 4
Agora que temos as expressões das velocidades das duas partículas, vamos igualá-las para encontrar o tempo $ t $ onde elas são iguais:
Substituindo as equações:
Vamos reorganizar essa equação para deixar tudo de um lado:
Passo 5
Temos agora uma equação quadrática na forma $ a t^2 + b t + c = 0 $. Para resolver, vamos calcular o discriminante $ \Delta $:
Onde:
- $ a = 4,00 $
- $ b = -12,00 $
- $ c = 17 $
Calculando:
Passo 6
O discriminante $ \Delta $ é negativo ($ -128 $), o que significa que a equação não tem soluções reais. Isso quer dizer que não existe um instante no tempo em que as velocidades das duas partículas sejam iguais.
Resposta
As duas partículas nunca têm a mesma velocidade.