Duas partículas movem-se ao longo do eixo
. A posição da partícula 1 é dada por
, onde
está em metros e
em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por
, onde a está em metros por segundo ao quadrado.
, a velocidade da partícula 2 é
.
a) em que instante as duas partículas têm mesma velocidade?
a) em que instante as duas partículas têm mesma velocidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo no eixo
. A posição da partícula 1 é dada por
, e a aceleração da partícula 2 é
. Além disso, sabemos que, no tempo
, a velocidade da partícula 2 é
. Queremos descobrir em que instante ambas as partículas têm a mesma velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidades a partir das posições e integrais para encontrar velocidades a partir de acelerações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 1. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 2. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial que, em
, a velocidade da partícula 2 é
:
Então, a expressão para a velocidade da partícula 2 fica:
Passo 5
Agora, queremos saber quando as velocidades das duas partículas são iguais. Então, igualamos
e
:
Vamos rearranjar a equação para resolver para
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
. Portanto, a única solução válida é
segundo.
Resposta
As duas partículas têm a mesma velocidade no instante
.