Duas partículas movem-se ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x(t)= 6 t^2+4 t+2, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por a(t)=-8 t, onde a está em metros por segundo ao quadrado. Em t0=0, a velocidade da partícula 2 é 20 m / s.
a) em que instante as duas partículas têm mesma velocidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo no eixo x. A posição da partícula 1 é dada por x(t) = 6t^2 + 4t + 2, e a aceleração da partícula 2 é a(t) = -8t. Além disso, sabemos que, no tempo t0 = 0, a velocidade da partícula 2 é 20, m/s. Queremos descobrir em que instante ambas as partículas têm a mesma velocidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar velocidades a partir das posições e integrais para encontrar velocidades a partir de acelerações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula 1. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t):
v1(t) = dxdt = ddt(6t^2 + 4t + 2) = 12t + 4

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula 2. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
v2(t) = integral a(t) , dt = integral -8t , dt = -4t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial que, em t = 0, a velocidade da partícula 2 é 20, m/s:
v2(0) = -4(0)^2 + C = 20 implies C = 20
Então, a expressão para a velocidade da partícula 2 fica:
v2(t) = -4t^2 + 20

Passo 5

Agora, queremos saber quando as velocidades das duas partículas são iguais. Então, igualamos v1(t) e v2(t):
12t + 4 = -4t^2 + 20
Vamos rearranjar a equação para resolver para t:
4t^2 + 12t + 4 - 20 = 0 4t^2 + 12t - 16 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
t^2 + 3t - 4 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática t^2 + 3t - 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 1
  • b = 3
  • c = -4
Calculando o discriminante:
De
Então,
t = -3 pm raiz252 = -3 pm 52
Isso nos dá duas soluções:
  1. t = -3 + 52 = 1
  2. t = -3 - 52 = -4
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos t = -4. Portanto, a única solução válida é t = 1 segundo.

Resposta

As duas partículas têm a mesma velocidade no instante t = 1, segundo.

Exercícios relacionados