A figura 3 mostra um disco himegeneo, de masaa m0 ce manu cml, montado cmi um eiso honzontal livo (momento de incivis do disco .
A bola dosce uma distlacia vertival pars chegur a hase de rampa. Qual to a velocibade de thoti no ehequer a base de rampe?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco homogêneo com massa e raio . Esse disco está montado em um eixo horizontal que pode girar livremente. Além disso, uma bola desce uma distância vertical de até chegar à base da rampa. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela alcança a base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia. Vamos considerar que a energia potencial que a bola tem no alto se transforma em energia cinética quando ela chega na base da rampa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ( ) que a bola tem no ponto mais alto é dada por:
Onde:
  • é a massa da bola,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
No entanto, como a bola está conectada ao disco que pode girar, parte dessa energia se transforma em energia cinética de rotação do disco.

Passo 3

A energia cinética total ( ) quando a bola chega à base da rampa será a soma da energia cinética de translação da bola e da energia cinética de rotação do disco. Ou seja:
Onde:
  • é a velocidade da bola,
  • é o momento de inércia do disco,
  • é a velocidade angular do disco.
Como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade angular ( ) está relacionada com a velocidade linear ( ) pela relação:

Passo 4

Substituindo na equação da energia cinética, temos:
Sabendo que o momento de inércia do disco é , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 5

Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
No entanto, na questão, a massa da bola ( ) não foi fornecida. Se considerarmos que a massa da bola é igual à massa do disco ( ), podemos prosseguir. Assim:

Resposta

Calculando os valores:
Portanto, a velocidade da bola ao alcançar a base da rampa é aproximadamente 3,96 metros por segundo.

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