A figura 3 mostra um disco himegeneo, de masaa m0 =4,5 kg ce manu R=20 cml, montado cmi um eiso honzontal livo (momento de incivis do disco IC M=M R^2 / 2).
A bola dosce uma distlacia vertival h=1.20 m pars chegur a hase de rampa. Qual to a velocibade de thoti no ehequer a base de rampe?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco homogêneo com massa e raio . Esse disco está montado em um eixo horizontal que pode girar livremente. Além disso, uma bola desce uma distância vertical de até chegar à base da rampa. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela alcança a base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia. Vamos considerar que a energia potencial que a bola tem no alto se transforma em energia cinética quando ela chega na base da rampa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ( Ep = m cdot g cdot h ) que a bola tem no ponto mais alto é dada por:
Onde:
  • é a massa da bola,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
No entanto, como a bola está conectada ao disco que pode girar, parte dessa energia se transforma em energia cinética de rotação do disco.

Passo 3

A energia cinética total ( Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2 ) quando a bola chega à base da rampa será a soma da energia cinética de translação da bola e da energia cinética de rotação do disco. Ou seja:
omega = vR
Onde:
  • é a velocidade da bola,
  • é o momento de inércia do disco,
  • é a velocidade angular do disco.
Como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade angular ( ) está relacionada com a velocidade linear ( ) pela relação:

Passo 4

Substituindo Ek = 12 m v^2 + 12 I ( vR )^2 na equação da energia cinética, temos:
Ek = 12 m v^2 + 12 ( 12 m0 R^2 ) ( vR )^2
Sabendo que o momento de inércia do disco é Ek = 12 m v^2 + 14 m0 v^2 , podemos substituir:
Simplificando:

Passo 5

Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 14 m0 v^2
Fatorando m cdot g cdot h = v^2 ( 12 m + 14 m0 ) :
v^2 = 2 m g hm + m02
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos resolver para v = raiz 2 m g hm + m02 :
v = raiz 2 cdot m0 cdot g cdot hm0 + m02 = raiz 2 cdot g cdot h1 + 12 = raiz 2 cdot 9,81 cdot 1,201,5
No entanto, na questão, a massa da bola ( ) não foi fornecida. Se considerarmos que a massa da bola é igual à massa do disco ( ), podemos prosseguir. Assim:

Resposta

Calculando os valores:
v = raiz 2 cdot 9,81 cdot 1,201,5 = raiz 23,5441,5 = raiz15,696 approx 3,96 , m/s
Portanto, a velocidade da bola ao alcançar a base da rampa é aproximadamente 3,96 metros por segundo.

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