A figura 3 mostra um disco himegeneo, de masaa m0
ce manu
cml, montado cmi um eiso honzontal livo (momento de incivis do disco
.
A bola dosce uma distlacia vertival
pars chegur a hase de rampa. Qual to a velocibade de thoti no ehequer a base de rampe?
A bola dosce uma distlacia vertival
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco homogêneo com massa
e raio
. Esse disco está montado em um eixo horizontal que pode girar livremente. Além disso, uma bola desce uma distância vertical de
até chegar à base da rampa. Queremos descobrir qual é a velocidade da bola quando ela alcança a base da rampa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e momento de inércia. Vamos considerar que a energia potencial que a bola tem no alto se transforma em energia cinética quando ela chega na base da rampa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional (
) que a bola tem no ponto mais alto é dada por:
Onde:
-
é a massa da bola, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
No entanto, como a bola está conectada ao disco que pode girar, parte dessa energia se transforma em energia cinética de rotação do disco.
Passo 3
A energia cinética total (
) quando a bola chega à base da rampa será a soma da energia cinética de translação da bola e da energia cinética de rotação do disco. Ou seja:
Onde:
-
é a velocidade da bola, -
é o momento de inércia do disco, -
é a velocidade angular do disco.
Como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade angular (
) está relacionada com a velocidade linear (
) pela relação:
Passo 4
Substituindo
na equação da energia cinética, temos:
Sabendo que o momento de inércia do disco é
, podemos substituir:
Simplificando:
Passo 5
Igualando a energia potencial inicial à energia cinética final:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
No entanto, na questão, a massa da bola (
) não foi fornecida. Se considerarmos que a massa da bola é igual à massa do disco (
), podemos prosseguir. Assim:
Resposta
Calculando os valores:
Portanto, a velocidade da bola ao alcançar a base da rampa é aproximadamente 3,96 metros por segundo.