Duas partículas 1 e 2 se movem ao longo dos eixos e com velocidades e . No instante elas estão nas posições:
Determine quando e onde a distância entre as duas partículas é mínima
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo em direções diferentes: a partícula 1 no eixo e a partícula 2 no eixo . As velocidades são e . No instante inicial (), elas estão em posições específicas: partícula 1 em e partícula 2 em . Nosso objetivo é descobrir quando e onde a distância entre elas é mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e matemática para modelar as posições das partículas ao longo do tempo e calcular a distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as posições das partículas em qualquer instante . Como a partícula 1 se move ao longo do eixo com velocidade constante , sua posição em no tempo é dada por:
A posição em da partícula 1 permanece constante, já que ela só se move no eixo :
Passo 3
Agora, para a partícula 2, que se move ao longo do eixo com velocidade constante . Sua posição em no tempo é:
A posição em da partícula 2 permanece constante:
Passo 4
Com as posições das duas partículas expressas em função do tempo, podemos agora calcular a distância entre elas em qualquer instante . A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Substituindo as expressões das posições:
Passo 5
Para encontrar o momento em que essa distância é mínima, vamos minimizar a função . Mas, para facilitar o cálculo, podemos minimizar o quadrado da distância, , já que a função raiz é crescente e o mínimo de ocorre no mesmo .
Calculando :
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, temos uma função quadrática na forma . Para encontrar o mínimo dessa função, podemos usar o cálculo do vértice da parábola. O tempo que minimiza é dado por:
Onde e :
Passo 7
Agora que temos o tempo em que a distância é mínima, vamos encontrar as posições das partículas nesse instante.
Para a partícula 1:
Para a partícula 2:
Resposta
A distância entre as duas partículas é mínima aproximadamente aos segundos, quando a partícula 1 está na posição e a partícula 2 está em .