Duas partículas 1 e 2 se movem ao longo dos eixos x e y com velocidades v1=2 imath m / s e v2=3 jmath m / s. No instante t=0 elas estão nas posições:
x1=-3 m, y1=0 m ; x2=0 m, y2=-3 m
Determine quando e onde a distância entre as duas partículas é mínima

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas partículas se movendo em direções diferentes: a partícula 1 no eixo e a partícula 2 no eixo . As velocidades são e . No instante inicial ( ), elas estão em posições específicas: partícula 1 em e partícula 2 em . Nosso objetivo é descobrir quando e onde a distância entre elas é mínima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e matemática para modelar as posições das partículas ao longo do tempo e calcular a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as posições das partículas em qualquer instante x1(t) = x10 + v1 t = -3 + 2t . Como a partícula 1 se move ao longo do eixo y1(t) = 0 com velocidade constante , sua posição em no tempo é dada por:
A posição em da partícula 1 permanece constante, já que ela só se move no eixo :

Passo 3

Agora, para a partícula 2, que se move ao longo do eixo y2(t) = y20 + v2 t = -3 + 3t com velocidade constante x2(t) = 0 . Sua posição em no tempo é:
A posição em da partícula 2 permanece constante:

Passo 4

Com as posições das duas partículas expressas em função do tempo, podemos agora calcular a distância entre elas em qualquer instante D(t) = raiz(x2(t) - x1(t))^2 + (y2(t) - y1(t))^2 . A distância D(t) = raiz(0 - (-3 + 2t))^2 + ((-3 + 3t) - 0)^2 = raiz(3 - 2t)^2 + (-3 + 3t)^2 entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Substituindo as expressões das posições:

Passo 5

Para encontrar o momento em que essa distância é mínima, vamos minimizar a função D(t)^2 = (3 - 2t)^2 + (-3 + 3t)^2 . Mas, para facilitar o cálculo, podemos minimizar o quadrado da distância, D(t)^2 = (9 - 12t + 4t^2) + (9 - 18t + 9t^2) = 18 - 30t + 13t^2 , já que a função raiz é crescente e o mínimo de ocorre no mesmo .
Calculando :
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática na forma t = -b2a . Para encontrar o mínimo dessa função, podemos usar o cálculo do vértice da parábola. O tempo t = --302 times 13 = 3026 = 1513 , segundos approx 1,15 , segundos que minimiza é dado por:
Onde e :

Passo 7

Agora que temos o tempo em que a distância é mínima, vamos encontrar as posições das partículas nesse instante.
Para a partícula 1:
x1(1513) = -3 + 2 times 1513 = -3 + 3013 = -3913 + 3013 = -913 , m
y1(1513) = 0 , m
Para a partícula 2:
x2(1513) = 0 , m
y2(1513) = -3 + 3 times 1513 = -3 + 4513 = -3913 + 4513 = 613 , m

Resposta

A distância entre as duas partículas é mínima aproximadamente aos segundos, quando a partícula 1 está na posição e a partícula 2 está em .

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