Utilizando a ideia de projeção entre vetores, escreva os vetores unitários da base canônica como combinação linear dos vetores unitários da base polar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para usar a ideia de projeção entre vetores. A missão é escrever os vetores unitários da base canônica (que são os famosos ex e ey) como combinação linear dos vetores unitários da base polar ( er e etheta). Para isso, vamos precisar entender como os vetores se relacionam entre as bases canônica e polar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas bases. Na base canônica, usamos ex e ey que apontam, respectivamente, nas direções horizontal e vertical. Já na base polar, usamos er, que aponta na direção radial (saindo do centro), e etheta, que aponta na direção angular (perpendicular a er).

Passo 3

Agora, para expressar ex e ey em termos de er e etheta, vamos usar projeções. A ideia é ver como cada vetor da base canônica se decompõe nas direções da base polar.

Passo 4

Vamos começar com ex. Imagine um ângulo theta em relação ao eixo x. O vetor ex pode ser projetado na direção de er e na direção de etheta. A projeção na direção radial é cos(theta) e na direção angular é -sin(theta). Então:
ex = cos(theta) , er - sin(theta) , etheta

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para ey. A projeção na direção radial é sin(theta) e na direção angular é cos(theta). Assim, temos:
ey = sin(theta) , er + cos(theta) , etheta

Resposta

Portanto, os vetores unitários da base canônica expressos como combinação linear dos vetores unitários da base polar são:
ex = cos(theta) , er - sin(theta) , etheta
e
ey = sin(theta) , er + cos(theta) , etheta

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