Utilizando a ideia de projeção entre vetores, escreva os vetores unitários da base canônica como combinação linear dos vetores unitários da base polar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para usar a ideia de projeção entre vetores. A missão é escrever os vetores unitários da base canônica (que são os famosos e ) como combinação linear dos vetores unitários da base polar ( e ). Para isso, vamos precisar entender como os vetores se relacionam entre as bases canônica e polar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são essas bases. Na base canônica, usamos e que apontam, respectivamente, nas direções horizontal e vertical. Já na base polar, usamos , que aponta na direção radial (saindo do centro), e , que aponta na direção angular (perpendicular a ).

Passo 3

Agora, para expressar e em termos de e , vamos usar projeções. A ideia é ver como cada vetor da base canônica se decompõe nas direções da base polar.

Passo 4

Vamos começar com . Imagine um ângulo em relação ao eixo . O vetor pode ser projetado na direção de e na direção de . A projeção na direção radial é e na direção angular é . Então:

Passo 5

Agora, vamos fazer a mesma coisa para . A projeção na direção radial é e na direção angular é . Assim, temos:

Resposta

Portanto, os vetores unitários da base canônica expressos como combinação linear dos vetores unitários da base polar são:
e

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