Utilizando a ideia de projeção entre vetores, escreva os vetores unitários da base canônica como combinação linear dos vetores unitários da base polar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para usar a ideia de projeção entre vetores. A missão é escrever os vetores unitários da base canônica (que são os famosos
e
) como combinação linear dos vetores unitários da base polar (
e
). Para isso, vamos precisar entender como os vetores se relacionam entre as bases canônica e polar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são essas bases. Na base canônica, usamos
e
que apontam, respectivamente, nas direções horizontal e vertical. Já na base polar, usamos
, que aponta na direção radial (saindo do centro), e
, que aponta na direção angular (perpendicular a
).
Passo 3
Agora, para expressar
e
em termos de
e
, vamos usar projeções. A ideia é ver como cada vetor da base canônica se decompõe nas direções da base polar.
Passo 4
Vamos começar com
. Imagine um ângulo
em relação ao eixo
. O vetor
pode ser projetado na direção de
e na direção de
. A projeção na direção radial é
e na direção angular é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos fazer a mesma coisa para
. A projeção na direção radial é
e na direção angular é
. Assim, temos:
Resposta
Portanto, os vetores unitários da base canônica expressos como combinação linear dos vetores unitários da base polar são:
e