Duas partículas e movem-se, respectivamente, sobre os eixos e . A função de posição de é e a de . Determine o instante em que a distância entre e seja menor possível.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas, P e Q, que se movem nos eixos e , respectivamente. A posição de P é dada por e a posição de Q por , onde é o tempo. Nosso objetivo é encontrar o instante em que a distância entre P e Q é a menor possível. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e aplicar cálculo para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas das partículas P e Q em função do tempo :
  • P está no eixo , então suas coordenadas são .
  • Q está no eixo , então suas coordenadas são .

Passo 3

A distância entre os pontos P e Q pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Simplificando, temos:

Passo 4

Para encontrar o instante em que a distância é mínima, vamos minimizar a função . É mais fácil minimizar o quadrado da distância, , pois isso evita a raiz quadrada:
Vamos derivar em relação a e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero:
Simplificando:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos que satisfaz a equação.

Resposta

A distância entre P e Q é menor no instante .

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