Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos 0 x e 0 y. A função de posição de P é x * raiz(t) e a de Q, y = t² - 3/4, t ≥ 0. Determine o instante em que a distância entre P e Q seja menor possível.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas, P e Q, que se movem nos eixos e , respectivamente. A posição de P é dada por e a posição de Q por , onde t é o tempo. Nosso objetivo é encontrar o instante t em que a distância entre P e Q é a menor possível. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e aplicar cálculo para encontrar o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas das partículas P e Q em função do tempo t:
  • P está no eixo , então suas coordenadas são .
  • Q está no eixo , então suas coordenadas são .

Passo 3

A distância D entre os pontos P e Q pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Simplificando, temos:

Passo 4

Para encontrar o instante em que a distância é mínima, vamos minimizar a função D(t). É mais fácil minimizar o quadrado da distância, , pois isso evita a raiz quadrada:
Vamos derivar em relação a t e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 5

Calculando a derivada de :
Igualando a derivada a zero:
Simplificando:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos que satisfaz a equação.

Resposta

A distância entre P e Q é menor no instante .

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