Duas partículas
e
movem-se, respectivamente, sobre os eixos
e
. A função de posição de
é
e a de
. Determine o instante em que a distância entre
e
seja menor possível.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas, P e Q, que se movem nos eixos
e
, respectivamente. A posição de P é dada por
e a posição de Q por
, onde
é o tempo. Nosso objetivo é encontrar o instante
em que a distância entre P e Q é a menor possível. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e aplicar cálculo para encontrar o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas das partículas P e Q em função do tempo
:
- P está no eixo
, então suas coordenadas são . - Q está no eixo
, então suas coordenadas são .
Passo 3
A distância
entre os pontos P e Q pode ser calculada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para encontrar o instante em que a distância é mínima, vamos minimizar a função
. É mais fácil minimizar o quadrado da distância,
, pois isso evita a raiz quadrada:
Vamos derivar
em relação a
e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 5
Calculando a derivada de
:
Igualando a derivada a zero:
Simplificando:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos que
satisfaz a equação.
Resposta
A distância entre P e Q é menor no instante
.
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Seja
. Determine o(s) ponto(s) do gráfico que
que tem reta tangente paralela à reta
.
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