Duas partículas provenientes de um acelerador de particulas de alta energia se aproximam frontalmente com uma velocidade relativa igual a 0,9380 c, medida no laboratório. Qual é o módulo da velocidade com a qual uma partícula se aproxima da outra?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre duas partículas que vêm de um acelerador de partículas de alta energia e se aproximam uma da outra com uma velocidade relativa de medida no laboratório. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade com que uma partícula se aproxima da outra. Para isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, especificamente a fórmula de adição de velocidades.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a velocidade relativa. No laboratório, temos duas partículas se movendo uma em direção à outra. Vamos supor que uma delas está se movendo para a direita com velocidade e a outra para a esquerda com velocidade . A velocidade relativa é a velocidade de uma partícula em relação à outra.

Passo 3

Na relatividade especial, a velocidade relativa não é simplesmente a soma das velocidades, como seria no dia a dia. Precisamos usar a fórmula de adição de velocidades de Einstein, que leva em conta os efeitos da teoria da relatividade. A fórmula é:
vrel = v1 + v21 + v1 v2c^2
Aqui, e são as velocidades das duas partículas em relação ao laboratório, e é a velocidade da luz.

Passo 4

No nosso caso, uma partícula tem velocidade vrel = v + (-v)1 + v times (-v)c^2 = 01 - v^2c^2 = 0 e a outra tem velocidade (porque está indo na direção oposta). Vamos substituir esses valores na fórmula:
Isso nos dá zero, o que não faz sentido. Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Na verdade, a velocidade relativa que a questão menciona ( vrel = 2v1 + v^2c^2 ) já é a velocidade com que uma partícula vê a outra se movendo em relação a si mesma. Portanto, estamos procurando por essa . Para encontrar a velocidade de cada partícula em relação ao laboratório, podemos reorganizar a fórmula de adição de velocidades:

Passo 6

Agora, substituímos 0,9380c = 2v1 + v^2c^2 na equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados da equação por 0,9380c (1 + v^2c^2) = 2v para eliminar o denominador:
0,9380c + 0,9380 v^2c = 2v
Distribuindo :

Passo 8

Reorganizamos a equação para deixá-la em termos de 0,9380 v^2c = 2v - 0,9380c :
0,9380 v^2 = 2vc - 0,9380c^2
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Colocamos todos os termos no lado esquerdo para formar uma equação quadrática:
0,9380 v^2 - 2vc + 0,9380c^2 = 0
Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
v = 2c pm raiz(2c)^2 - 4 times 0,9380 times 0,9380c^22 times 0,9380

Passo 10

Calculando o discriminante:
De
Agora, substituímos de volta na fórmula:
v = 2c pm raiz0,4810c^21,8760
v = 2c pm 0,6943c1,8760

Passo 11

Considerando que a velocidade deve ser positiva, usamos o sinal positivo:
v = 2c + 0,6943c1,8760 = 2,6943c1,8760 approx 1,438c
No entanto, isso implica que a velocidade ultrapassa a da luz, o que não é possível. Isso indica que houve um erro na nossa abordagem inicial.

Passo 12

Na verdade, a velocidade relativa já está correta e não precisamos recalcular no laboratório. A pergunta quer saber a velocidade com que uma partícula vê a outra, que já foi dada como . Portanto, a velocidade com que uma partícula se aproxima da outra é .

Resposta

A velocidade com que uma partícula se aproxima da outra é .

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