Duas partículas provenientes de um acelerador de particulas de alta energia se aproximam frontalmente com uma velocidade relativa igual a
, medida no laboratório. Qual é o módulo da velocidade com a qual uma partícula se aproxima da outra?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre duas partículas que vêm de um acelerador de partículas de alta energia e se aproximam uma da outra com uma velocidade relativa de
medida no laboratório. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade com que uma partícula se aproxima da outra. Para isso, vamos usar conceitos de relatividade especial, especificamente a fórmula de adição de velocidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a velocidade relativa. No laboratório, temos duas partículas se movendo uma em direção à outra. Vamos supor que uma delas está se movendo para a direita com velocidade
e a outra para a esquerda com velocidade
. A velocidade relativa
é a velocidade de uma partícula em relação à outra.
Passo 3
Na relatividade especial, a velocidade relativa não é simplesmente a soma das velocidades, como seria no dia a dia. Precisamos usar a fórmula de adição de velocidades de Einstein, que leva em conta os efeitos da teoria da relatividade. A fórmula é:
Aqui,
e
são as velocidades das duas partículas em relação ao laboratório, e
é a velocidade da luz.
Passo 4
No nosso caso, uma partícula tem velocidade
e a outra tem velocidade
(porque está indo na direção oposta). Vamos substituir esses valores na fórmula:
Isso nos dá zero, o que não faz sentido. Parece que precisamos ajustar nossa abordagem.
Passo 5
Na verdade, a velocidade relativa que a questão menciona (
) já é a velocidade com que uma partícula vê a outra se movendo em relação a si mesma. Portanto, estamos procurando por essa
. Para encontrar a velocidade
de cada partícula em relação ao laboratório, podemos reorganizar a fórmula de adição de velocidades:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Distribuindo
:
Passo 8
Reorganizamos a equação para deixá-la em termos de
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Colocamos todos os termos no lado esquerdo para formar uma equação quadrática:
Podemos resolver essa equação usando a fórmula quadrática:
Passo 10
Calculando o discriminante:
Agora, substituímos de volta na fórmula:
Passo 11
Considerando que a velocidade deve ser positiva, usamos o sinal positivo:
No entanto, isso implica que a velocidade ultrapassa a da luz, o que não é possível. Isso indica que houve um erro na nossa abordagem inicial.
Passo 12
Na verdade, a velocidade relativa
já está correta e não precisamos recalcular
no laboratório. A pergunta quer saber a velocidade com que uma partícula vê a outra, que já foi dada como
. Portanto, a velocidade com que uma partícula se aproxima da outra é
.
Resposta
A velocidade com que uma partícula se aproxima da outra é
.
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