Duas pequenas esferas metálicas idênticas tem cargas
e
. A força de repulsão que uma exerce sobre a outra quando estão separadas 20 cm é de
. Depois que as esferas se tocam e voltam a ser separadas 20 cm , se encontra que a força de repulsão é
. Determine os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas metálicas idênticas com cargas
e
. Inicialmente, quando estão separadas por 20 cm, a força de repulsão entre elas é de
. Depois que elas se tocam e voltam a ficar separadas pela mesma distância, a força de repulsão muda para
. Nosso objetivo é descobrir quanto vale
e
. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
Onde:
-
é a força de repulsão, -
é a constante eletrostática ( ), -
e são as cargas das esferas, -
é a distância entre elas.
Passo 3
Antes das esferas se tocarem, temos:
Queremos uma relação entre
e
. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, quando as esferas se tocam, elas compartilham a carga igualmente porque são idênticas. Então, a carga total
é dividida igualmente entre elas:
Depois de separadas, cada esfera tem carga
.
Passo 5
Com a nova carga
em cada esfera, a força de repulsão passa a ser:
Substituindo
pela expressão anterior:
Passo 6
Agora temos duas equações:
Vamos calcular os valores numéricos.
Passo 7
Calculando a primeira equação:
Passo 8
Calculando a segunda equação:
Então:
Multiplicando por 2:
Passo 9
Agora temos:
Esse é um sistema de equações que podemos resolver. Vamos chamar
, então
.
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Resolvendo a equação quadrática:
Primeiro, calculamos o discriminante:
Então:
Isso dá duas soluções:
Resposta
As cargas das esferas são aproximadamente
e
.