Duas pequenas esferas metálicas idênticas tem cargas q1 e q2. A força de repulsão que uma exerce sobre a outra quando estão separadas 20 cm é de 1,35 times 10^-4 N. Depois que as esferas se tocam e voltam a ser separadas 20 cm , se encontra que a força de repulsão é 1,406 times 10^-4 N. Determine os valores de q1 e q2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas esferas metálicas idênticas com cargas e . Inicialmente, quando estão separadas por 20 cm, a força de repulsão entre elas é de . Depois que elas se tocam e voltam a ficar separadas pela mesma distância, a força de repulsão muda para . Nosso objetivo é descobrir quanto vale e . Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Coulomb:
F = k cdot q1 cdot q2r^2
Onde:
  • é a força de repulsão,
  • é a constante eletrostática ( ),
  • e são as cargas das esferas,
  • é a distância entre elas.

Passo 3

Antes das esferas se tocarem, temos:
1,35 times 10^-4 = k cdot q1 cdot q2(0,2)^2
Queremos uma relação entre q1 cdot q2 = 1,35 times 10^-4 cdot (0,2)^2k e . Vamos isolar :

Passo 4

Agora, quando as esferas se tocam, elas compartilham a carga igualmente porque são idênticas. Então, a carga total q' = q1 + q22 é dividida igualmente entre elas:
Depois de separadas, cada esfera tem carga .

Passo 5

Com a nova carga 1,406 times 10^-4 = k cdot q'^2(0,2)^2 em cada esfera, a força de repulsão passa a ser:
1,406 times 10^-4 = k cdot (q1 + q22)^20,04
Substituindo pela expressão anterior:

Passo 6

Agora temos duas equações:
Vamos calcular os valores numéricos.

Passo 7

Calculando a primeira equação:
q1 cdot q2 = 1,35 times 10^-4 times 0,048,988 times 10^9 approx 6 times 10^-16 , C^2

Passo 8

Calculando a segunda equação:
(q1 + q22)^2 = 1,406 times 10^-4 times 0,048,988 times 10^9 approx 6.26 times 10^-16 , C^2
Então:
q1 + q22 approx raiz6.26 times 10^-16 approx 7.91 times 10^-8 , C
Multiplicando por 2:
q1 + q2 approx 1.582 times 10^-7 , C

Passo 9

Agora temos:
q1 + q2 = 1.582 times 10^-7 , C
q1 cdot q2 = 6 times 10^-16 , C^2
Esse é um sistema de equações que podemos resolver. Vamos chamar q cdot (1.582 times 10^-7 - q) = 6 times 10^-16 , então q^2 - 1.582 times 10^-7 q + 6 times 10^-16 = 0 .
Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Resolvendo a equação quadrática:
q = 1.582 times 10^-7 pm raiz(1.582 times 10^-7)^2 - 4 times 1 times 6 times 10^-162
Primeiro, calculamos o discriminante:
De
Então:
q approx 1.582 times 10^-7 pm 1.506 times 10^-72
Isso dá duas soluções:
q1 approx 1.582 times 10^-7 + 1.506 times 10^-72 = 1.544 times 10^-7 , C
q2 approx 1.582 times 10^-7 - 1.506 times 10^-72 = 3.8 times 10^-9 , C

Resposta

As cargas das esferas são aproximadamente e .

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