Se as duas primeiras linhas de são as mesmas, quando a eiliminação vai descobrir que é singular? Faça um exemplo 3 por 3 , permitindo troca de linhas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre matrizes singulares e eliminação de Gauss. Uma matriz é singular quando ela não tem inversa, ou seja, seu determinante é zero. No caso, se as duas primeiras linhas de uma matriz são iguais, queremos ver em que momento, durante a eliminação, isso mostra que é singular. Para resolver isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é um método para simplificar matrizes e encontrar soluções para sistemas lineares. Vamos fazer um exemplo com uma matriz 3x3, permitindo trocas de linhas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma matriz 3x3 onde as duas primeiras linhas são iguais. Por exemplo:
Aqui, vemos que a primeira e a segunda linhas são exatamente iguais.
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminação de Gauss. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde temos zeros abaixo da diagonal principal.
Passo 3.1: Usamos a primeira linha como pivô. Queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha da segunda linha.
Agora, a segunda linha ficou toda zerada.
Passo 4
Neste ponto, vemos que a segunda linha é toda zero. Isso indica que há dependência linear entre as linhas da matriz, ou seja, a matriz é singular. Mas ainda não terminamos; vamos verificar o próximo elemento.
Passo 4.1: Olhamos para a terceira linha. Queremos zerar o elemento na primeira coluna usando o pivô da primeira linha.
Agora, a terceira linha também foi ajustada, mas a presença da linha totalmente zero confirma que a matriz é singular.
Passo 5
Durante a eliminação, ao encontrarmos uma linha totalmente zero (como a segunda linha no nosso exemplo), já podemos concluir que a matriz é singular. Isso acontece porque não existe uma solução única para o sistema linear associado, já que uma das equações é redundante.
Resposta
A eliminação de Gauss detecta que a matriz é singular logo no Passo 3, quando a segunda linha se torna totalmente zero. Portanto, a matriz é reconhecida como singular durante a primeira etapa de eliminação.