[Oppenheim et al., 1996, ex. 2.4] Calcule e esboce quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a convolução entre duas sequências discretas e . Basicamente, a convolução nos mostra como uma sequência é “modulada” pela outra. Para isso, vamos precisar entender as definições de e e aplicar a fórmula de convolução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas sequências que temos:
Isso significa que é uma sequência que vale 1 entre e , e zero fora desse intervalo. Já vale 1 entre e , e zero fora disso.
Passo 3
A convolução de duas sequências e é definida pela soma:
Mas como e são zero fora dos intervalos dados, podemos limitar os limites da soma apenas onde as sequências são diferentes de zero.
Passo 4
Vamos identificar os intervalos onde e são diferentes de zero:
quando
quando , ou seja,
Para que ambos sejam iguais a 1, os índices devem satisfazer:
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de a convolução será diferente de zero. Isso acontece quando os intervalos de se sobrepõem:
Resolvendo essas desigualdades:
Então, será diferente de zero para .
Passo 6
Vamos calcular para os diferentes valores de dentro do intervalo :
Isso significa que é o número de termos na soma, ou seja, a quantidade de valores de que satisfazem as condições.
Passo 7
Calculando a quantidade de termos :
Simplificando isso dependendo dos valores de :
Para :
Para :
Passo 8
Agora, podemos expressar de forma completa:
Resposta
A convolução y[n] = n - 6 & 7 <= n <= 11 24 - n & 12 <= n <= 15 0 & caso contrário é dada por: