[Oppenheim et al., 1996, ex. 2.4] Calcule e esboce y[n]=x[n] * h[n] quando:
& x[n]= 1 & 3 <= n <= 8 0 & caso contrário & h[n]= 1 & 4 <= n <= 15 0 & caso contrário áá

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a convolução entre duas sequências discretas e . Basicamente, a convolução nos mostra como uma sequência é “modulada” pela outra. Para isso, vamos precisar entender as definições de e e aplicar a fórmula de convolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas sequências que temos:
x[n] = 1 & 3 <= n <= 8 0 & caso contrário á
h[n] = 1 & 4 <= n <= 15 0 & caso contrário á
Isso significa que é uma sequência que vale 1 entre e , e zero fora desse intervalo. Já vale 1 entre e , e zero fora disso.

Passo 3

A convolução de duas sequências y[n] = sumk=-infty^infty x[k] cdot h[n - k] e é definida pela soma:
Mas como e são zero fora dos intervalos dados, podemos limitar os limites da soma apenas onde as sequências são diferentes de zero.

Passo 4

Vamos identificar os intervalos onde max(3, n - 15) <= k <= min(8, n - 4) e são diferentes de zero:
  • quando
  • quando , ou seja,
Para que ambos sejam iguais a 1, os índices devem satisfazer:

Passo 5

Agora, vamos determinar para quais valores de 3 <= n - 4 e n - 15 <= 8 a convolução n >= 7 e n <= 23 será diferente de zero. Isso acontece quando os intervalos de se sobrepõem:
Resolvendo essas desigualdades:
Então, será diferente de zero para .

Passo 6

Vamos calcular y[n] = sumk=max(3, n-15)^min(8, n-4) 1 cdot 1 para os diferentes valores de dentro do intervalo :
Isso significa que é o número de termos na soma, ou seja, a quantidade de valores de que satisfazem as condições.

Passo 7

Calculando a quantidade de termos y[n] = min(8, n - 4) - max(3, n - 15) + 1 :
y[n] = (n - 4) - 3 + 1 = n - 6
Simplificando isso dependendo dos valores de y[n] = 8 - (n - 15) + 1 = 24 - n :
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Agora, podemos expressar y[n] = n - 6 & 7 <= n <= 11 24 - n & 12 <= n <= 15 0 & caso contrário de forma completa:
á

Resposta

A convolução y[n] = n - 6 & 7 <= n <= 11 24 - n & 12 <= n <= 15 0 & caso contrário é dada por:
á

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