Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento, sendo esse comprimento o maior possivel. Se uma tabua tem 90 centimetros e a outra tem 126 centimetros, qual deve ser o comprimento de cada pedaço se toda a madeira deve ser aproveitada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas tábuas: uma com 90 centímetros e outra com 126 centímetros. A ideia é cortar essas tábuas em pedaços de mesmo comprimento, usando o comprimento maior possível, de modo que toda a madeira seja aproveitada sem sobrar. Para resolver isso, vamos precisar encontrar o Maior Divisor Comum (MDC) entre 90 e 126.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Maior Divisor Comum (MDC). O MDC de dois números é o maior número que divide os dois números sem deixar resto. No nosso caso, queremos o maior comprimento que pode dividir tanto 90 quanto 126 centímetros sem deixar pedaços sobrando.

Passo 3

Para encontrar o MDC de 90 e 126, podemos usar o método da fatoração em primos. Vamos fatorar cada número em seus fatores primos.
Fatoração de 90:
90 = 2 times 3 times 3 times 5
Ou seja:
90 = 2 times 3^2 times 5
Fatoração de 126:
126 = 2 times 3 times 3 times 7
Ou seja:
126 = 2 times 3^2 times 7

Passo 4

Agora que temos a fatoração de ambos, vamos identificar os fatores comuns com os menores exponentes:
  • O fator 2 aparece uma vez em ambos.
  • O fator 3^2 (ou seja, 3 ao quadrado) aparece em ambos.
  • O fator 5 aparece apenas em 90 e o fator 7 apenas em 126, então não são comuns.

Passo 5

Multiplicamos os fatores comuns para encontrar o MDC:
MDC = 2 times 3^2 = 2 times 9 = 18

Passo 6

Então, o maior comprimento possível para cortar as tábuas, de modo que todas as partes sejam iguais e toda a madeira seja aproveitada, é de 18 centímetros.

Resposta

Cada pedaço deve ter 18 centímetros de comprimento.

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