Encontre a área limitada pela curva y = x² e y = x + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = x + 2 $. Para isso, vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente determinando os pontos onde as duas curvas se encontram e depois calculando a integral da diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 = x + 2
Isso nos dá uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de $ x $ onde as curvas se encontram.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática $ x^2 = x + 2 $, subtraímos $ x + 2 $ de ambos os lados para obter:
x^2 = x + 2
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ x^2 - x - 2 = 0 $:
x^2 - x - 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Calculando o discriminante:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então,
a = 1
Portanto, as soluções são $ x = 2 $ e $ x = -1 $.

Passo 5

Agora que sabemos que as curvas se encontram em $ x = -1 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está por cima no intervalo entre esses pontos. Podemos testar um valor, por exemplo, $ x = 0 $:
x = -1
x = 2 á
Assim, a linha $ y = x + 2 $ está acima da parábola $ y = x^2 $ nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1 Á
Vamos calcular essa integral.

Passo 7

Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
(x + 2) - x^2 = -x^2 + x + 2
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2 + x + 2) dx = -x^33 + x^22 + 2x

Passo 8

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração, de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
x = -1
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = -1 $:
[ -(2)^33 + (2)^22 + 2 cdot 2 ] - [ -(-1)^33 + (-1)^22 + 2 cdot (-1) ]

Passo 9

Subtraindo os resultados:
103 - ( -76 ) = 103 + 76 = 206 + 76 = 276 = 92

Resposta

A área limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = x + 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.

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