Encontre a área limitada pela curva y = x² e y = x + 2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = x + 2 $. Para isso, vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente determinando os pontos onde as duas curvas se encontram e depois calculando a integral da diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dá uma equação quadrática que podemos resolver para encontrar os valores de $ x $ onde as curvas se encontram.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática $ x^2 = x + 2 $, subtraímos $ x + 2 $ de ambos os lados para obter:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver $ x^2 - x - 2 = 0 $:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = -2 $. Calculando o discriminante:
Então,
Portanto, as soluções são $ x = 2 $ e $ x = -1 $.
Passo 5
Agora que sabemos que as curvas se encontram em $ x = -1 $ e $ x = 2 $, vamos determinar qual curva está por cima no intervalo entre esses pontos. Podemos testar um valor, por exemplo, $ x = 0 $:
Assim, a linha $ y = x + 2 $ está acima da parábola $ y = x^2 $ nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as duas curvas pode ser encontrada pela integral da diferença das funções no intervalo de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Vamos calcular essa integral.
Passo 7
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de integração, de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Calculando cada parte:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 9
Subtraindo os resultados:
Resposta
A área limitada pelas curvas $ y = x^2 $ e $ y = x + 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.