Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma distância de 150 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre.
Localize exatamente o ponto A de modo que o comprimento total do cabo seja mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas torres, uma com 50 metros de altura e outra com 30 metros, e elas estão separadas por 150 metros. A gente precisa achar o ponto A no chão de modo que o comprimento total do cabo que liga A ao topo de cada torre seja o menor possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo de otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para a posição do ponto A. Vamos imaginar que A está a uma distância metros da base da torre mais alta (a de 50 metros). Isso significa que a distância de A para a outra torre (a de 30 metros) será metros.
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento dos cabos. Para a torre de 50 metros, o cabo forma um triângulo retângulo com catetos de metros (distância no chão) e 50 metros (altura da torre). Usando o teorema de Pitágoras, o comprimento desse cabo () é:
Da mesma forma, para a torre de 30 metros, o cabo forma outro triângulo retângulo com catetos de metros e 30 metros. Então, o comprimento desse cabo () é:
Passo 4
O comprimento total dos dois cabos () é a soma de e :
Nosso objetivo é encontrar o valor de que minimiza esse .
Passo 5
Para minimizar , vamos usar cálculo. Precisamos encontrar a derivada de em relação a e igualar a zero. Vamos calcular a derivada:
Passo 6
Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver para :
Passo 7
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Isso resulta em:
Passo 8
Agora, vamos resolver essa equação. Primeiro, multiplicamos em cruz para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Perceba que aparece nos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 9
Vamos simplificar a equação:
Dividindo ambos os lados por 100:
Expande o lado direito:
Distribuindo:
Trazer todos os termos para um lado:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 10
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos dividir todos os termos por 16 para simplificar:
Calculando os coeficientes:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
(Nota: Houve um erro no cálculo do discriminante. Vamos refazer.)
Na verdade:
Parece que houve um engano nos cálculos. Vamos revisar.
Passo 11
Vamos recalcular o discriminante corretamente:
Agora, aplicando a fórmula:
Como representa uma distância positiva, vamos considerar a solução positiva:
No entanto, isso não faz sentido, pois a distância total entre as torres é de apenas 150 metros. Deve ter ocorrido um erro nos cálculos anteriores.
Passo 12
Vamos voltar e ajustar os cálculos para encontrar o valor correto de .
A partir da equação simplificada:
Vamos expandir o lado direito novamente:
Levantando todos os termos para o lado esquerdo:
Dividindo por 16:
Agora, calculamos o discriminante corretamente:
Isso ainda não está correto. Vamos simplificar de outra maneira.
Passo 13
Vamos tentar resolver de forma mais simples. A partir de:
Vamos chamar os catetos:
Para a torre de 50m:
Para a torre de 30m:
Para facilitar, podemos usar a razão de semelhança:
Elevando ao quadrado:
Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Cancelando dos dois lados:
Dividindo por 100:
Expandindo o lado direito:
Levantando todos os termos para o lado esquerdo:
Dividindo por 16:
Agora, aplicando a fórmula de Bhaskara novamente:
Encontramos o mesmo valor inconsistente. Parece que houve um erro nos cálculos iniciais. Vamos reconsiderar a abordagem.
Passo 14
Uma maneira mais eficiente de resolver esse tipo de problema é usando o método da reflexão. Vamos refletir a torre de 30 metros em relação ao solo, criando uma torre imaginária de -30 metros de altura. Então, o problema de minimizar o comprimento dos cabos se transforma em encontrar a distância mais curta entre o ponto A e o topo da torre refletida.
Desenhando isso, o ponto A ideal estará na linha reta que conecta o topo da torre de 50 metros ao topo da torre refletida de -30 metros. A interseção dessa linha com o solo nos dá a posição ótima de A.
Vamos calcular isso:
A diferença de alturas é metros, e a distância entre as torres é 150 metros.
Então, a proporção para encontrar é:
Resposta
O ponto A deve estar localizado a aproximadamente 93,75 metros da base da torre de 50 metros para que o comprimento total dos cabos seja mínimo.