Encontre as coordenadas dos vértices do retângulo de área máxima que tem dois lados sobre os eixos cartesianos e um vértice na curva de equação x^2 + 4y^2 = 8, no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as coordenadas dos vértices de um retângulo que tem área máxima. Esse retângulo tem dois lados sobre os eixos cartesianos (o eixo x e o eixo y) e um dos vértices está na curva dada por no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Como dois lados do retângulo estão sobre os eixos, seus vértices vão estar nos pontos , , e , onde está na curva e está no primeiro quadrante (ou seja, e ).

Passo 3

A área do retângulo é dada por . Nosso objetivo é maximizar essa área . Para isso, precisamos expressar em termos de usando a equação da curva.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação da curva para encontrar em função de :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da área:
Queremos maximizar essa função .

Passo 6

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Derivando:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
(Como estamos no primeiro quadrante, descartamos ).

Passo 7

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação da curva:

Resposta

As coordenadas dos vértices do retângulo de área máxima são , , e .

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