Encontre as coordenadas dos vértices do retângulo de área máxima que tem dois lados sobre os eixos cartesianos e um vértice na curva de equação
, no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as coordenadas dos vértices de um retângulo que tem área máxima. Esse retângulo tem dois lados sobre os eixos cartesianos (o eixo x e o eixo y) e um dos vértices está na curva dada por
no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de otimização e geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. Como dois lados do retângulo estão sobre os eixos, seus vértices vão estar nos pontos
,
,
e
, onde
está na curva
e está no primeiro quadrante (ou seja,
e
).
Passo 3
A área do retângulo é dada por
. Nosso objetivo é maximizar essa área
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
usando a equação da curva.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação da curva para encontrar
em função de
:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da área:
Queremos maximizar essa função
.
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Derivando:
Igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
(Como estamos no primeiro quadrante, descartamos
).
Passo 7
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação da curva:
Resposta
As coordenadas dos vértices do retângulo de área máxima são
,
,
e
.