Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(g) integral x^24 x-x^2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar usar frações parciais e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que o denominador 4x - x^2 = -x^2 + 4x = -x(x - 4) pode ser reescrito como integral x^24x - x^2 , dx = integral x^2-x(x - 4) , dx = -integral x^2x(x - 4) , dx = -integral xx - 4 , dx , o que facilita a fatoração:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração xx - 4 = 1 + 4x - 4 . Podemos fazer isso dividindo -integral (1 + 4x - 4) , dx por :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
- integral 1 , dx - 4 integral 1x - 4 , dx
A primeira integral é simples:
- integral 1 , dx = -x
Para a segunda integral, usamos a regra da integral de -4 integral 1x - 4 , dx = -4 ln|x - 4| :

Resposta

Somando as duas partes, a integral é:
integral x^24x - x^2 , dx = -x - 4 ln|x - 4| + C
onde é a constante de integração.

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