Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma distância de 150 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre.
Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independente da altura das torres.
Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independente da altura das torres.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas torres com alturas de 50 metros e 30 metros, separadas por 150 metros. Precisamos estender um cabo guia do ponto A até o topo de cada torre de maneira que o comprimento total do cabo seja o menor possível. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de otimização na geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a posição do ponto A no chão. Suponha que o ponto A está posicionado de tal forma que a distância horizontal até a base da torre de 50 metros seja
metros. Assim, a distância horizontal até a base da torre de 30 metros será
metros.
Passo 3
Agora, vamos calcular o comprimento do cabo que vai do ponto A até o topo da torre de 50 metros. Usando o Teorema de Pitágoras, temos:
Aqui,
é o comprimento do cabo até a primeira torre.
Passo 4
De maneira similar, o comprimento do cabo que vai do ponto A até o topo da torre de 30 metros é:
Onde
é o comprimento do cabo até a segunda torre.
Passo 5
O comprimento total do cabo será a soma dos dois comprimentos individuais:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que minimiza o comprimento total
, precisamos derivar
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Passo 8
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 9
Essa igualdade mostra que os ângulos que os cabos fazem com a horizontal são iguais. Portanto, o comprimento total do cabo é mínimo quando os ângulos em A são iguais.
Resposta
O comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independentemente da altura das torres.
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Localize exatamente o ponto A de modo que o comprimento total do cabo seja mínimo.
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(g) .
(g)
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(f) ;
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