Esboçar o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função
para
. A matéria que vamos usar aqui envolve funções exponenciais e suas propriedades. Para isso, vamos precisar analisar pontos importantes como domínio, crescimento da função, derivadas para encontrar máximos ou mínimos, e comportamentos assintóticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como temos
, precisamos que a base
seja positiva para evitar números complexos. Então, o domínio é
, como já está especificado no enunciado.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns valores da função para entender como ela se comporta em pontos específicos. Por exemplo:
- Para
, - Para
, - Para
, - Para
,
Esses valores já nos dão uma ideia de que a função cresce conforme
aumenta.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a derivada de
. Primeiro, reescrevemos a fun��ão usando logaritmos:
Agora, derivando em relação a
:
Passo 5
Com a derivada
, podemos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou indefinida. Como
para
, a condição para
é:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Vamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Calculando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada nos arredores do ponto crítico, vemos que:
- Para
, , então (função decresce) - Para
, , então (função cresce)
Isso indica que temos um ponto de mínimo local em
.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
-
Quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ): -
Quando
tende ao infinito ( ):
Passo 8
Com todas essas informações, podemos identificar os principais pontos do gráfico:
- Domínio:
- Ponto de mínimo em
com - A função é decrescente para
e crescente para - Limites:
quando e quando
Resposta
O gráfico de
para
apresenta um ponto de mínimo em
com
. A função decresce de
até
e cresce para valores maiores de
. Além disso,
tende a 1 quando
se aproxima de 0 e cresce sem limite conforme
vai para o infinito. Assim, o esboço do gráfico terá uma curva abaixando até o mínimo e subindo depois, sem interseções com o eixo
além de se aproximar de
quando
é próximo de 0.
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.
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