Esboçar o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico da função para . A matéria que vamos usar aqui envolve funções exponenciais e suas propriedades. Para isso, vamos precisar analisar pontos importantes como domínio, crescimento da função, derivadas para encontrar máximos ou mínimos, e comportamentos assintóticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como temos , precisamos que a base seja positiva para evitar números complexos. Então, o domínio é , como já está especificado no enunciado.

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns valores da função para entender como ela se comporta em pontos específicos. Por exemplo:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
Esses valores já nos dão uma ideia de que a função cresce conforme aumenta.

Passo 4

Para entender melhor o comportamento da função, vamos calcular a derivada de . Primeiro, reescrevemos a fun��ão usando logaritmos:
Agora, derivando em relação a :

Passo 5

Com a derivada , podemos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou indefinida. Como para , a condição para é:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Vamos verificar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo. Calculando a segunda derivada ou analisando o sinal da primeira derivada nos arredores do ponto crítico, vemos que:
  • Para , , então (função decresce)
  • Para , , então (função cresce)
Isso indica que temos um ponto de mínimo local em .

Passo 7

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
  • Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo ( ):
  • Quando tende ao infinito ( ):

Passo 8

Com todas essas informações, podemos identificar os principais pontos do gráfico:
  • Domínio:
  • Ponto de mínimo em com
  • A função é decrescente para e crescente para
  • Limites: quando e quando

Resposta

O gráfico de para apresenta um ponto de mínimo em com . A função decresce de até e cresce para valores maiores de . Além disso, tende a 1 quando se aproxima de 0 e cresce sem limite conforme vai para o infinito. Assim, o esboço do gráfico terá uma curva abaixando até o mínimo e subindo depois, sem interseções com o eixo além de se aproximar de quando é próximo de 0.

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