Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) integral x^3 raiz4-9 x^2 d x;

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver esta integral, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões envolvendo . Precisaremos aplicar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = 23 sintheta
Dessa forma, dx = 23 costheta , dtheta será:

Passo 3

Agora, substituímos raiz4 - 9x^2 = raiz4 - 9(23sintheta)^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta na expressão dentro da raiz:

Passo 4

Substituímos integral x^3 raiz4 - 9x^2 , dx = integral (23sintheta)^3 cdot 2costheta cdot 23costheta , dtheta e = integral 827sin^3theta cdot 2costheta cdot 23costheta , dtheta = 3281 integral sin^3theta cos^2theta , dtheta na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver a integral sin^3theta = sin^2theta cdot sintheta = (1 - cos^2theta)sintheta , usamos a identidade 3281 integral (1 - cos^2theta)sintheta cos^2theta , dtheta :
Substituindo na integral:

Passo 6

Fazemos a substituição -3281 integral (1 - u^2)u^2 , du = -3281 integral (u^2 - u^4) , du , então . A integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a -3281 ( u^33 - u^55 ) + C = -32243u^3 + 32405u^5 + C :
-32243cos^3theta + 32405cos^5theta + C
Substituindo :

Passo 8

Voltando à variável original costheta = raiz1 - sin^2theta = raiz1 - (3x2)^2 = raiz4 - 9x^22 . Lembrando que:
-32243(raiz4 - 9x^22)^3 + 32405(raiz4 - 9x^22)^5 + C
Substituindo na expressão:
-4243(4 - 9x^2)^32 + 1405(4 - 9x^2)^52 + C
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral -4243(4 - 9x^2)^32 + 1405(4 - 9x^2)^52 + C é igual a:

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