Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(f) ;

Passo 1

Vamos calcular a integral . Para resolver esta integral, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões envolvendo . Precisaremos aplicar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Dessa forma, será:

Passo 3

Agora, substituímos na expressão dentro da raiz:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver a integral , usamos a identidade :
Substituindo na integral:

Passo 6

Fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a :
Substituindo :

Passo 8

Voltando à variável original . Lembrando que:
Substituindo na expressão:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Exercício 1. Calcule as integrais abaixo:
(g) .
Duas torres têm, respectivamente, 50 e 30 metros de altura, estando separadas por uma distância de 150 metros e um cabo guia deve ser estendido do ponto A até o topo de cada torre.
Mostre que o comprimento do cabo usado é mínimo sempre que os ângulos em A são iguais, independente da altura das torres.
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(e) ;
Exercício 2. Calcule as integrais abaixo:
(a) ;