Duas variáveis dependentes. Encontre partial x / partial u e partial y / partial u se as equações u=x^2-y^2 e v=x^2-y definem x e y como funções das variáveis independentes u e v, e as derivadas parciais existem. Em seguida, seja s=x^2+y^2 e encontre d s / partial u.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas equações que relacionam as variáveis u = x^2 - y^2 e v = x^2 - y com e :
Essas equações definem e como funções das variáveis independentes e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e . Depois, com , queremos determinar .
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e resolver sistemas de equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as duas equações que relacionam u = x^2 - y^2 (1) e v = x^2 - y (2) com partial upartial u = partialpartial u (x^2 - y^2) e 1 = 2x partial xpartial u - 2y partial ypartial u (3) :
partial vpartial u = partialpartial u (x^2 - y)
0 = 2x partial xpartial u - partial ypartial u (4)
Queremos encontrar e . Para isso, precisamos derivar essas equações em relação a , tratando como constante, já que é uma das variáveis independentes.
Primeiro, vamos derivar a equação (1) em relação a :
Agora, derivamos a equação (2) em relação a :
Aqui, porque é considerado constante quando derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, temos um sistema de duas equações (3) e (4) com duas incógnitas: 2x partial xpartial u - 2y partial ypartial u = 1 (3) e 2x partial xpartial u - partial ypartial u = 0 (4) .
Vamos reescrever o sistema:
2x partial xpartial u - partial ypartial u = 0
partial ypartial u = 2x partial xpartial u (5)
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra. Vamos isolar uma das derivadas na equação (4):
2x partial xpartial u - 2y ( 2x partial xpartial u ) = 1
2x partial xpartial u - 4x y partial xpartial u = 1
Agora, substituímos a equação (5) na equação (3):
partial xpartial u (2x - 4x y) = 1
partial xpartial u = 12x (1 - 2y) (6)
partial ypartial u = 2x cdot 12x (1 - 2y) = 11 - 2y (7)
Agora que encontramos , podemos usar a equação (5) para encontrar :

Passo 4

Agora, temos:
partial xpartial u = 12x (1 - 2y)
partial ypartial u = 11 - 2y
Com essas derivadas parciais, podemos avançar para encontrar dsdu = partialpartial u (x^2 + y^2) = 2x partial xpartial u + 2y partial ypartial u , onde dsdu = 2x cdot 12x (1 - 2y) + 2y cdot 11 - 2y .
Vamos derivar dsdu = 11 - 2y + 2y1 - 2y em relação a dsdu = 1 + 2y1 - 2y :
Substituindo as expressões encontradas para e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial xpartial u = 12x (1 - 2y)
partial ypartial u = 11 - 2y
E a derivada de dsdu = 1 + 2y1 - 2y em relação a é:

Exercícios relacionados