Duas variáveis dependentes. Encontre
e
se as equações
e
definem
e
como funções das variáveis independentes
e
, e as derivadas parciais existem. Em seguida, seja
e encontre
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos duas equações que relacionam as variáveis
e
com
e
:
Essas equações definem
e
como funções das variáveis independentes
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
. Depois, com
, queremos determinar
.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e resolver sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as duas equações que relacionam
e
com
e
:
Queremos encontrar
e
. Para isso, precisamos derivar essas equações em relação a
, tratando
como constante, já que
é uma das variáveis independentes.
Primeiro, vamos derivar a equação (1) em relação a
:
Agora, derivamos a equação (2) em relação a
:
Aqui,
porque
é considerado constante quando derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, temos um sistema de duas equações (3) e (4) com duas incógnitas:
e
.
Vamos reescrever o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando métodos de álgebra. Vamos isolar uma das derivadas na equação (4):
Agora, substituímos a equação (5) na equação (3):
Agora que encontramos
, podemos usar a equação (5) para encontrar
:
Passo 4
Agora, temos:
Com essas derivadas parciais, podemos avançar para encontrar
, onde
.
Vamos derivar
em relação a
:
Substituindo as expressões encontradas para
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
E a derivada de
em relação a
é: