O processo pelo qual determinamos limites de funções racionais se aplica igualmente bem a razões contendo potências de x não inteiras ou negativas: dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de x no denominador e continuar a partir dali. Determine os limites nos Exercícios 23-36.
lim x -infty(1-x^3x^2+7 x)^5

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular o limite da função:
lim x -infty(1 - x^3x^2 + 7x)^5
Essa questão envolve limites de funções racionais, principalmente quando a variável tende ao infinito negativo ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências de e simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de presente no denominador.

Passo 2

Identificando as Potências Maiores no Numerador e Denominador
Primeiro, vamos observar as potências de no numerador e no denominador:
  • No numerador: . A maior potência é .
  • No denominador: . A maior potência é .
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é a maior potência no denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 3

Dividindo Numerador e Denominador pela Potência Mais Alta no Denominador
Agora, dividimos cada termo por 1 - x^3x^2 + 7x = 1x^2 - x1 + 7x :
Aqui, simplificamos cada termo separadamente:
  • permanece como está.
  • .
  • .

Passo 4

Analisando o Comportamento das Frações Conforme 0 - x1 + 0 = -x
Vamos ver o que acontece com cada parte conforme fica cada vez mais negativo:
  • : Como é positivo e cresce sem limite, vai para 0.
  • : Novamente, como está indo para , também vai para 0.
Então, a expressão simplificada fica:

Passo 5

Calculando o Limite da Expressão Simplificada
Agora, restou calcular o limite de limx to -infty (-x) = +infty quando tende a :
Isso porque está indo para , e o negativo faz com que vá para .

Passo 6

Aplicando o Resultado ao Limite Original
Lembrando que a expressão original estava elevada à quinta potência, temos:
( limx to -infty 1 - x^3x^2 + 7x )^5 = (+infty)^5 = +infty

Resposta

O limite é .

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