O processo pelo qual determinamos limites de funções racionais se aplica igualmente bem a razões contendo potências de
não inteiras ou negativas: dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de
no denominador e continuar a partir dali. Determine os limites nos Exercícios 23-36.
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular o limite da função:
Essa questão envolve limites de funções racionais, principalmente quando a variável
tende ao infinito negativo (
). Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com potências de
e simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador pela maior potência de
presente no denominador.
Passo 2
Identificando as Potências Maiores no Numerador e Denominador
Primeiro, vamos observar as potências de
no numerador e no denominador:
- No numerador:
. A maior potência é . - No denominador:
. A maior potência é .
Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é a maior potência no denominador. Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 3
Dividindo Numerador e Denominador pela Potência Mais Alta no Denominador
Agora, dividimos cada termo por
:
Aqui, simplificamos cada termo separadamente:
-
permanece como está. -
. -
.
Passo 4
Analisando o Comportamento das Frações Conforme
Vamos ver o que acontece com cada parte conforme
fica cada vez mais negativo:
-
: Como é positivo e cresce sem limite, vai para 0. -
: Novamente, como está indo para , também vai para 0.
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 5
Calculando o Limite da Expressão Simplificada
Agora, restou calcular o limite de
quando
tende a
:
Isso porque
está indo para
, e o negativo faz com que
vá para
.
Passo 6
Aplicando o Resultado ao Limite Original
Lembrando que a expressão original estava elevada à quinta potência, temos:
Resposta
O limite é
.