Utilizando a definição de derivada parcial, calcule as derivadas parciais da função f(x, y)=4+2 x-3 y-x y^2 nos pontos especificados: partial fpartial x e partial fpartial y em(-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e depois avaliar essas derivadas no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. Ou seja, para , a gente varia e mantém fixo, e para , a gente varia e mantém fixo.

Passo 3

Vamos começar calculando partial fpartial x = ddx(4) + ddx(2x) - ddx(3y) - ddx(xy^2) . A função é partial fpartial x = 0 + 2 - 0 - y^2 . Para derivar em relação a partial fpartial x = 2 - y^2 , tratamos como uma constante:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial fpartial y = ddy(4) + ddy(2x) - ddy(3y) - ddy(xy^2) . Mantendo partial fpartial y = 0 + 0 - 3 - 2xy constante, derivamos a função em relação a partial fpartial y = -3 - 2xy :

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir o ponto partial fpartial x g|(-2,1) = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1 nessas expressões para encontrar os valores específicos.
Para partial fpartial y g|(-2,1) = -3 - 2(-2)(1) = -3 + 4 = 1 :
Para :

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 1 e partial fpartial y = 1 no ponto são:

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