Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela equação:
y^2 - 3xy + x^2 = 25
Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0 então determine qual a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante. RESPOSTA: y' = 3/2

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis, e , que dependem de uma terceira variável . Elas estão relacionadas pela equação:
O problema nos diz que a taxa de variação de em relação a , que é , é igual a 1 quando . Queremos descobrir qual é a taxa de variação de em relação a , ou seja, , nesse mesmo instante. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação dada em relação a . Quando temos uma equação envolvendo e , que são funções de , usamos a derivada implícita. Isso significa que aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
Derivando cada termo da equação:

Passo 3

Agora, calculamos cada derivada individualmente:
  1. Para :
Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .
  1. Para :
Aqui usamos a regra do produto: a derivada de é vezes a derivada de mais vezes a derivada de .
  1. Para :
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
  1. Para o número constante 25:
A derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Substituindo todas as derivadas na equação:
Agora, vamos distribuir o -3:

Passo 5

Queremos encontrar , então vamos isolar os termos que contêm :
Agora, resolvemos para :

Passo 6

No instante em que , vamos usar a equação original para encontrar o valor de . Substituindo na equação:
Assumiremos para simplificar (o processo é o mesmo para ).

Passo 7

Agora, substituímos , , e na expressão que encontramos para :

Resposta

A taxa de variação de em relação a é .

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