Duas variáveis
e
são funções de uma variável
e estão relacionadas pela equação:
Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 1 quando
então determine qual a taxa de variação de
em relação a
neste mesmo instante. RESPOSTA:
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas variáveis,
e
, que dependem de uma terceira variável
. Elas estão relacionadas pela equação:
O problema nos diz que a taxa de variação de
em relação a
, que é
, é igual a 1 quando
. Queremos descobrir qual é a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
, nesse mesmo instante. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação dada em relação a
. Quando temos uma equação envolvendo
e
, que são funções de
, usamos a derivada implícita. Isso significa que aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
Derivando cada termo da equação:
Passo 3
Agora, calculamos cada derivada individualmente:
- Para
:
Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
- Para
:
Aqui usamos a regra do produto: a derivada de
é
vezes a derivada de
mais
vezes a derivada de
.
- Para
:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia.
- Para o número constante 25:
A derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Substituindo todas as derivadas na equação:
Agora, vamos distribuir o -3:
Passo 5
Queremos encontrar
, então vamos isolar os termos que contêm
:
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
No instante em que
, vamos usar a equação original para encontrar o valor de
. Substituindo
na equação:
Assumiremos
para simplificar (o processo é o mesmo para
).
Passo 7
Agora, substituímos
,
, e
na expressão que encontramos para
:
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
é
.