Às o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à e o navio B está navegando para o sul a então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às . RESPOSTA:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois navios, A e B. Às 8 horas, o navio A está 25 km ao sul do navio B. O navio A está indo para o oeste a 16 km/h, e o navio B está indo para o sul a 20 km/h. A gente precisa descobrir a que velocidade a distância entre os navios está mudando às 8 horas e 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento relativo e derivadas para achar a taxa de variação da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições dos navios em relação ao tempo. Vamos chamar o tempo de 0 no instante das 8 horas.
Posição do Navio A (, ):
Está indo para o oeste, então a posição em varia: km
Não muda a posição em porque está se movendo apenas para o oeste: km
Posição do Navio B (, ):
Não muda a posição em porque está se movendo apenas para o sul: km
Está indo para o sul, então a posição em varia: km
Passo 3
Agora, vamos encontrar a distância entre os dois navios no tempo . A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula:
Substituindo as posições:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Para achar a taxa de variação da distância , vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos horas (já que 8h30min é meia hora depois das 8h):
Convertendo para fração:
Resposta
A razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min é .