Às o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à e o navio B está navegando para o sul a então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às . RESPOSTA:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois navios, A e B. Às 8 horas, o navio A está 25 km ao sul do navio B. O navio A está indo para o oeste a 16 km/h, e o navio B está indo para o sul a 20 km/h. A gente precisa descobrir a que velocidade a distância entre os navios está mudando às 8 horas e 30 minutos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento relativo e derivadas para achar a taxa de variação da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições dos navios em relação ao tempo. Vamos chamar o tempo de 0 no instante das 8 horas.
  • Posição do Navio A ( , ):
    • Está indo para o oeste, então a posição em varia: km
    • Não muda a posição em porque está se movendo apenas para o oeste: km
  • Posição do Navio B ( , ):
    • Não muda a posição em porque está se movendo apenas para o sul: km
    • Está indo para o sul, então a posição em varia: km

Passo 3

Agora, vamos encontrar a distância entre os dois navios no tempo . A distância entre dois pontos no plano é dada pela fórmula:
Substituindo as posições:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Para achar a taxa de variação da distância , vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, substituímos horas (já que 8h30min é meia hora depois das 8h):
Convertendo para fração:

Resposta

A razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min é .

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