Se
e
, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a segunda derivada direcional de uma função
na direção do vetor
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e como calculá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor
para ter comprimento 1. Isso é importante porque as derivadas direcionais são calculadas na direção de vetores unitários. A fórmula para normalizar um vetor é:
Calculando a norma de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso vai nos ajudar a calcular as derivadas direcionais.
Primeira derivada parcial em relação a
:
Primeira derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada direcional
no ponto
. A fórmula para a derivada direcional é:
Onde
e
.
Primeiro, avaliamos
e
em
:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos calcular a segunda derivada direcional
, que é a derivada direcional da primeira derivada direcional que acabamos de encontrar. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
e
.
Calculando as segundas derivadas parciais:
Então, a segunda derivada direcional é dada por:
Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto
:
Substituindo na fórmula:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A segunda derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
.
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Suponha que
esteja definida implicitamente como uma função de
e
pela equação
. Calcule
.