D_u^2 f(x, y) = D_u[D_u f(x, y)]
Se f(x, y) = x^3 + 5 x^2 y + y^3 e u = (3, 4), calcule D_u^2 f(2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a segunda derivada direcional de uma função na direção do vetor no ponto . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e como calculá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor para ter comprimento 1. Isso é importante porque as derivadas direcionais são calculadas na direção de vetores unitários. A fórmula para normalizar um vetor é:
Calculando a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso vai nos ajudar a calcular as derivadas direcionais.
Primeira derivada parcial em relação a :
Primeira derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada direcional no ponto . A fórmula para a derivada direcional é:
Onde e .
Primeiro, avaliamos e em :
Então,

Passo 5

Agora, precisamos calcular a segunda derivada direcional , que é a derivada direcional da primeira derivada direcional que acabamos de encontrar. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de e .
Calculando as segundas derivadas parciais:
Então, a segunda derivada direcional é dada por:
Vamos avaliar essas segundas derivadas no ponto :
Substituindo na fórmula:
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A segunda derivada direcional de na direção de no ponto é .

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