Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos:
83) integral d xx^2+3 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral dxx^2 + 3x + 1. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente usando métodos de integração para funções racionais. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador e utilizar logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 3x + 1. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de uma forma que facilite a integração.

Passo 3

Para completar o quadrado, pegamos os coeficientes de x^2 e x. No caso, o coeficiente de x^2 é 1 e de x é 3. Usamos a fórmula:
x^2 + bx = (x + b2)^2 - (b2)^2
Aplicando aqui:
x^2 + 3x = (x + 32)^2 - (32)^2 = (x + 32)^2 - 94

Passo 4

Agora, substituímos isso de volta na expressão original:
x^2 + 3x + 1 = (x + 32)^2 - 94 + 1 = (x + 32)^2 - 54
Então, a integral fica:
integral dx(x + 32)^2 - 54

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever o denominador como diferença de quadrados:
(x + 32)^2 - (raiz52)^2
Assim, a integral fica:
integral dx(x + 32)^2 - (raiz52)^2

Passo 6

Agora, lembramos da integral padrão:
integral duu^2 - a^2 = 12a ln | u - au + a | + C
Identificando u = x + 32 e a = raiz52, aplicamos a fórmula.

Passo 7

Substituindo na fórmula:
12 cdot raiz52 ln | x + 32 - raiz52x + 32 + raiz52 | + C
Simplificando:
1raiz5 ln | x + 3 - raiz52x + 3 + raiz52 | + C

Resposta

A integral é igual a
1raiz5 ln | 2x + 3 - raiz52x + 3 + raiz5 | + C

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