Suponha que esteja definida implicitamente como uma função de e pela equação . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que define de forma implícita como função de e :
O objetivo aqui é calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas parciais e como diferenciamos funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis (no caso, ) considera as outras variáveis como constantes. Ou seja, tratamos e como constantes ao diferenciar em relação a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar , que é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos diferenciar cada termo de com relação a :
  1. Primeiro termo:
    • é tratado como constante em relação a , então a derivada é apenas .
  2. Segundo termo:
    • Tanto quanto são considerados constantes, então a derivada de em relação a é , já que não há nesse termo.
  3. Terceiro termo:
    • é constante, então a derivada de em relação a é .
  4. Quarto termo:
    • A derivada de uma constante é zero.

Passo 5

Agora, somando as derivadas dos termos:

Resposta

A derivada parcial é:

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